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SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 



A COEFFICIENTS CONSTANTS OU VARIABLES 

 DONT l'équation DÉRIVÉE EST RÉGULIÈRE 



par M. Désiré ANDRÉ. 



L'objet de la présente Note est de compléter les détails que nous 

 avons donnés, dans deux Mémoires déjà anciens \ sur la théorie et 

 l'intégration des équations différentielles linéaires d'ordre quelconque, 

 à coefficients constants ou variables, dont l'équation dérivée est régu- 

 lière. 



Soit 



AoF(n)Y|,"'-hA,F(n — l)Yr"+ •■• -h A,F(h - /^Yr''' = 0, 



cette équation dérivée régulière. Dans cette équation, on le sait, les 

 coefficients A, ainsi que l'indice k, sont indépendants de w, c'est-à- 

 dire constants; F(n) est une fonction quelconque de n; et 

 Yô"\ Y})""'', Y'"~-', . . . représentent, pour a? = 0, les valeurs numé- 

 riques des dérivées d'ordre n, n — 1, n — 2, ... de la fonction Y 

 de la seule variable x. 



Cette fonction Y est, d'ailleurs, celle qui ligure dans l'équation 

 différentielle que l'on considère, de telle façon que l'intégration de 

 cette équation différentielle revient simplement à la détermination de 

 cette fonction . 



Or, dans le premier ^ de nos deux Mémoires, nous avons montré 

 que cette fonction Y est représentée par une série entière, ordonnée 

 suivant les puissances ascendantes de a?, et dont le terme général U„ 

 est détini par l'égalité 



TT — !l!! x'i 



n ! V (n) 

 dans laquelle le numérateur u„ désigne le terme général d'une série 

 récurrente proprement dite, qui admet l'équation génératrice, déduite 

 immédiatement de l'équation dérivée régulière, 



Aoz-'^+ Ais''-^ -h Aos''-^ H h Aa- = 0. 



Il s'ensuivait que l'intégration, sous forme explicite et finie, 



1. Journal de Mathématiques, années 1880, 1881. 



2. Journal de Mathématiques, année 1880, page 27. 



