SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 65 



de l'équation différentielle considérée se ramenait à ces deux opéra- 

 tions : 



1° résolution de l'équation algébrique en z qu'on vient d'écrire et 

 que nous avons nommée équation caractéristique ; 



2° sommation, sous forme explicite et finie, de la série entière, 

 ordonnée par rapport aux puissances ascendantes de x, dont le 

 terme général U„ est donné par l'égalité 



n ! F{n] 



Telles étaient les deux opérations auxquelles nous ramenions l'inté- 

 gration proposée, opérations qui dépendaient en quelque sorte l'une 

 de l'autre, puisque m„, qui entrait dans la seconde, était le terme 

 général d'une série récurrente proprement dite, admettant, pour 

 équation génératrice, l'équation en z dont la résolution constitue la 

 première. 



Depuis lors, nous avons résolu ^, sur les séries ordonnées, ce pro- 

 blème très général : 



Etant donnée la somme d'une série ordonnée suivant les puissances 

 ascendantes de la variable .t, trouver celle de la série qu'on obtient en 

 multipliant tous les termes de la série proposée par les termes de même 

 rang d'une série récurrente proprement dite quelconque. 



Ce problème une fois résolu, la sommation de la série qu'il s'agis- 

 sait de sommer se ramène à celle de la série, beaucoup plus simple, 

 qu'on obtient en remplaçant par l'unité, dans le terme général donné 

 plus haut, le numérateur w„. En conséquence, l'intégration de notre 

 équation différentielle se ramène finalement à ces deux opérations : 



1° résolution de l'équation caractéristique 



Ao^/^- -4- ArJ'-' + A,z'^-' H h A, == ; 



2° sommation de la série ordonnée dont le terme général Vn est 

 défini par l'égalité 



n\F(n 



De ces deux opérations, la première demeure ce qu'elle était dans 

 nos deux Mémoires; mais la seconde devient beaucoup plus simple. 

 En outre, cette seconde opération ne dépend plus de la première, 



1. Solution d'un problème général sur les séries (Comptes Rendus, année 1881, 

 page 697). — Sur les séries ordonnées suivant les puissances croissantes d'une 

 "variable (Annales de l'Ecole Normale, année 1883, page 287.) 



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