66 SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES 



puisque le numérateur Un a cessé de figurer dans le terme général de 

 la série qu'il s'agit de sommer. 



Nous devons ajouter que la nature de l'intégrale cherchée ne dépend 

 que de la somme de la série ainsi simplifiée. Si nous représentons 

 cette somme par *(a?), l'intégrale cherchée est une fonction ration- 

 nelle, entière et linéaire, de la somme <î>(x) et de ses dérivées succes- 

 sives, multipliées, s'il le faut, par des polynômes entiers en x. 



Quoi qu'il en soit, pour bien faire comprendre la simplification que 

 nous venons d'indiquer, nous allons reprendre les équations différen- 

 tielles données comme exemples dans nos deux précédents Mémoires, 

 et dire, pour chacune d'elles, à quelle résolution d'équation et à 

 quelle sommation de série s'en ramène l'intégration. 



Pour intégrer l'équation différentielle * 



d^X d\ 



(x' -]-x^-h x'^) -—- -+- (40^=' + x'- — 2ir) -r- -H (2a;2 — x-+- 2)Y = 0, 

 dx- dx 



il nous suffit de résoudre l'équation 

 et de sommer la série 



i -h X -h X^" -i- x^ -+- x'" -] 



Pour intégrer l'équation différentielle ^ 



d^Y dY 



x'-^ — ^x(x + l)-r^ -^ 2(x + 1)Y = 0, 

 dx^^ dx 



il nous suffit de résoudre l'équation 



s — 2 = 0, 

 et de sommer la série 



X x^ x^ 



1.2 ' 1.2.3 

 Pour intégrer l'équation différentielle ^ 



d'-^Y d^Y dY 



{x' — Ix' + 12a;) — — -^ (5x'^ - 28x- + 36) -— ^- (4^- — 14) ^ = 0, 

 dX'' ctx" dx 



il suffit de résoudre l'équation 



12^^ — 7z + 1 =r 0, 

 et de sommer la série 



X x^ x'^" x'' 



T^T+T + T-^- 



1. Journal de Mathématiques, année 1880^ page 38. 



2. Journal de Malhématiqvies, année 1880, page 42. 



3. Joui'nal de mathématiques, année 1880, page 45. 



