72 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



Nous aurons donc trois familles d'équations. 

 l''e famille d'équations. 



Celles dans lesquelles les coeflicients sont déterminés mais indé- 

 pendants. 



2e famille d'équations. 



Celles dans lesquelles les coefficients sont déterminés mais dé- 

 pendants. 



3' famille d'équations. 



Celles dans lesquelles les coefficients sont indéterminés. 



Il ne peut pas y avoir de 4^ famille, car cette famille serait celle à 

 coefficients dépendants et arbitraires : or donnons aux coefficients 

 arbitraires des valeurs quelconques : les autres fonctions de ces arbi- 

 traires et étant toujours au nombre de nn' -{-n-\-n seront égale- 

 ment fonction des abscisses des nn'-t-wH-n' couples de points 

 correspondants qui déterminent les divisions : or ces derniers doivent 

 rester arbitraires pour avoir le cas général : il ne saurait donc y avoir 

 de relations entre les coefficients déterminés en fonction de ceux qui 

 sont arbitraires. 



Pour trouver toutes ces équations on peut partir comme nous l'avons 

 dit de l'équation fondamentale. Les éléments nouveaux qu'il faut y 

 introduire sont des points. 



Or quand deux points a et 6 sont donnés ils déterminent un seg- 

 ment géométrique ab. 



Si a et è étaient les abscisses de ces points ce segment serait re- 

 présenté par la différence h —a. 



Toutes ces équations pourront donc s'écrire de deux manières diffé- 

 rentes : algébriquement ou géométriquement. Comme chacune d'elles 

 est ou toute algébrique ou toute géométrique il n'y aura aucun incon- 

 vénient de représenter l'abscisse d'un point a par la même lettre a. 

 On pourra de la sorte passer facilement des unes aux autres. C'est ce 

 que nous ferons. 



Nous allons maintenant établir les équations des différentes familles. 



ÉQUATIONS DE LA i" FAMILLE 



1° ÉQUATION GÉNÉRALE DE CETTE FAMILLE 



Soit Y{xx') = 



l'équation fondamentale. 



Soient a, b, . . . l les abscisses de n points arbitraires de la !•'« di- 



