MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 75 



de ces coefficients ne peut avoir qu'une seule valeur, indépendante de 

 celle des autres. 



Les points a... et a' ... V étant tout à fait quelconques, cette équa- 

 tion sera la plus générale de la famille. En choisissant pour ces points 

 a, b . . . ; a', p' ... des points particuliers on obtiendra des équations 

 particulières correspondantes, fournissant des relations géométriques 

 d'autant plus intimes que les points choisis représentent mieux la na- 

 ture de la correspondance des divisions. 



C'est ce que nous allons faire maintenant. 



II 



Supposons que nous fassions, dans les quantités du chapitre pré- 

 cédent 



6^(j?) = F{xa') es(.i;') = F(a.x'') = 0. 



alors l'équation III deviendra en remarquant que 



ab.ac ... a/ = aiai.aja^ . . . aiai^i.aiOm . . . a^Un = aia, . . . aia„. 

 (d'une façon générale). 



yy 1 g/Il . ■ ad„ \\_J__ <Ji- -^'J'ur 



i=l 1=1 



-^" ttim a/tti . . aiCtn L-^" «iW a^a^ . . a.a'„' J 

 i=i i=i 



on sait ce que a'ij représente : c'est le j""" point du point a, qui est 



le i""" du point a'. 



Cette équation est très belle, appliquée à des divisions particulières 



elle fournit des relations très importantes caractérisant ces divisions . 



Nous ne pouvons en dire plus ici. 



III 



Supposons maintenant que 



62(0?') ^ I. 



Alors comme plus haut on aura successivement 



puis 



^f^{x') = J[m' .im' . . . i'n'm'. 



6'(a) =: ba.ca ... la. 

 V(x') = W[a).a[m' .aM' .a,i,m', 



m et m' étant les points dont les abscisses sont .x, .»'. 



