78 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



On trouverait de même l'équation 



.^ 1 a'fl;...a'a'„, aim .. a„m 



7^~T;ri ôT ' ; — ; = ^- l-^m) 



.^«ap. ..aA aia...a„a a m 



Ces équations sont les plus importantes de cette famille. 



PROPRIÉTÉ GÉOMÉTRIQUE CARACTÉRISTIQUE 

 des Divisions Algébriques. 



L'équation Xll peut s'écrire 



a=l 



^ a[m' ...a'n'm' _ 

 .^ am 



a=a 



Dans cette équation les h sont des constantes ayant une valeur 

 ■unique bien déterminée et que l'on peut exprimer à l'aide d'une cor- 

 respondance complète supplémentaire quelconque : 



^Oit a', ai, a,, ... a„. 



•OU P', p„ ^2, . . . K' 



Comme ces coefficients ont une valeur unique bien déterminée, on 

 conclut que si l'on exprime successivement ces coefficients à l'aide de 

 l'une et de l'autre de ces correspondances, les équations que l'on 

 obtiendra ainsi auront leurs coefficients proportionnels. 



On conclut de là que 



aai ... aa„ a^i ... ap„ bai . . . èa„ _ 6Pi . , . ô^„ 



a'iot' ... a'„;a' * a'i^' ... a'n''^' b\a.' . . . b'n'Oi.' ' b[^' . . . i'„/|i' 



-c'est-à-dire que 



aai ... rta„ boLi ... 6a„ a'a'j ... a'a'w <^'a', ... p'a'„, 



(XIV) 



aPi...a8„ * 6^1. ..6p„ ab[ ... a'b',,, ^'b\...^'b'n, 



C'est la relation que nous cherchions. 



Elle est très importante. 



En général elle ne peut servir à représenter deux divisions, excepté 



quand le nombre de couples de points correspondants qui déterminent 



les divisions est inférieur à 2(n -h n ) — 1 , ce qui arrive par exemple 



dans quelques divisions en involution et toujours pour les divisions 



dont les ordres de correspondance sont 1 et n. En etfet dans ce 



dernier cas on aura, en prenant les points b et b' pour points courants, 



l'équation 



aim...a„m a'Xi..aciLn cc'm' <^'a' 



