MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 79 



et qui détermine les divisions puisque 2n -f- 1 couples de points 

 correspondants en sont connus. 



Cette propriété XIV exprime au fond que l'équation 



' ¥{xa') = 



€st rationnelle. On aurait pu l'établir directement en partant de cette 

 propriété de ¥{xa'). 



Mais nous voulions exposer la méthode que nous avons suivie pour 

 la trouver parce que en l'appliquant à certaines divisions, ou plutôt 

 aux équations qui les représentent, on trouve des relations importantes 

 et qu'il serait très difficile d'établir autrement, vu que l'on ne 

 connaît pas d'avance la propriété analytique qu'elles expriment. C'est 

 tout ce que nous dirons ici des équations de la l^e famille. 



ÉQUATIONS DE LA DEUXIÈME FAMILLE 

 Équation générale. 



Pour l'obtenir, il suffit d'introduire N points a, b, . . . / et N 

 points a', ^', ... h', les nombres N et N' étant supérieurs respecti- 

 vement à n-\-i et n' + 1 . 



L'équation que l'on obtient ainsi est : 



u=l a'="'.' 



y^ 1 ail. • gin ["y^ 1 a'».; ..ccCl'n' 1 _ n 



2i'^' ab..al l^Ja'm' ' a'p'...aTj~ 



0=0 x' = a' 



quels que soient les nombres de points introduits, ce qui est très 

 important. 

 D'une façon générale on pourra poser pour obtenir des équations 



particulières 



Q,{x) = F(.ra') . (Fx.Éi') .... (FxÀ') . ^ {X 



b,{x) = {¥ax'V(bx')...F(lx').f\(xl. 

 fi et fi étant des fonctions dont les zéros sont des quantités arbi- 

 traires, et même dans certains cas on pourra choisir pour les F(a) etc. 

 des fonctions telles que 



F(a?a')F(,xa,;y), etc. 

 F(a.'r,), etc. 



ce qui introduira des correspondances complètes à un degré quel- 

 conque. 

 Nous allons maintenant passer aux équations de la troisième famille. 



Remarque. — Toutes les équations précédentes peuvent se généra- 

 liser un peu à l'aide de la relation caractéristique (XI Y) ce qu'il faudra 



