80 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



toujours faire quand on étudiera des divisions particulières comme 

 par exemple les divisions d'ordre 1 et 2. 



ÉQUATIONS DE LA 3' FAMILLE 



Nous ne donnerons pour cette famille qu'une proposition générale 

 pour les former, et l'équation la plus importante de la famille. 



Proposition. — Toute équation où entrent des segments tels que 

 am.bm... de la 1" division, et des segments tels que a'm'.p'm'... 

 de la 2° et telle qu'un quelconque de ses termes se compose 

 de produits de segments tels que am.bm. . .Im, multipliés par des 

 produits tels que a'm' . ^'m' . . . X'm', tous ces produits étant du reste tels^ 

 que les segments am. . .a'm'. . . . n'y entrent qu'au l^»" degré et tels 

 aussi que le nombre de facteurs est au plus n pour les produits am. . . 

 et n' pour les produits a'm', une pareille équation, dis-je, représente 

 toujours deux divisions algébriques d'ordres (n, n'). 



Si le nombre de termes est inférieur à nn'-ir n -t- n' -f- 1 l'équa- 

 tion représentera un système de divisions particulières. 



Si le nombre de ses termes égale nn' H- n + n' + 1 l'équation 

 pourra représenter une division quelconqueet cela d'une seule manière. 



Si enfin le nombre des termes est plus grand que nn' -\- n -h n' -h l 

 l'équation pourra représenter deux divisions quelconques d'une 

 infinité de manières. 



Cette proposition est facile à démontrer. 



Nous allons l'appliquer. 



Equation homogène à n -^ n' couples de points correspondants. 



Lemme. — Si Cl], désigne le nombre de combinaisons de m objets 

 w à w, il est facile de démontrer que l'on a toujours : 



par suite 



Ql'+nr>nn' -hl. 



Soient maintenant n -h n' points quelconques ab — / et 

 a'b' — /' un système quelconque de leurs points correspondants : 

 il existe C;i+„, = Cl\^n, fractions telles que 



am. bm ... hm 



a'm'b'm' . . . h'm' 



Le nombre de facteurs au numérateur comme au dénominateur 



