MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 85 



Si m est à l'infini : alors 



SjjtrjW' = S/'jm' — 



c'est-à-dire que m' seralecentredes distances proportionnelles, dans le 

 premier cas et des moyennes distances dans le second. 



Ces mêmes équations donnent 



mm' m}\ 



1 1 



(n-t-w') = S 



mwïj mvi 



la deuxième donne ce qu'on appelle la moyenne harmonique et la 

 première la moyenne « proportionnelle (!) » ou « anharmonique » et 

 dont la définition sera donnée par 



— 2ia = i . 



r ' r, 



L'étude des divisions harmoniques est très intéressante. Par exemple 



l'équation 



a'm\ . . . a'm'n' 

 S rxm . . TnM = K . 



k étantune constante s'applique aux divisions d'ordres n,n'. Si n' = 1 

 alors 



peut représenter les divisions : 

 On aura du reste : 



C'est tout ce que nous en dirons ici. 



Ainsi donc, il paraît utile de diviser les divisions de même bases en 

 divisions harmoniques et en divisions anharmoniques. 



Pour terminer ces notions sur les divisions de même base, mention- 

 tionnons encore les équations obtenues en décomposant les fonctions 

 Y{xx') Y{xx') 



Y{xx) ¥{xx)¥{x'x') 



et la proposition suivante. 



Les centres des moyennes distances des deux systèmes de points 

 Ij.. I„iJÎ .. J'„' d'une part et des points 



rj_r„ r-„_^_j_r„_,_„, de l'autre 



coïncident dans tout système de divisions algébriques d'ordre n^n' de 

 même base. 



Nous allons maintenant étudier quelques divisions particulières de 



