88 MÉ»f01RE DE GÉOMÉTRIE 



m. — Nous donnerons la proposition suivante, sans la démontrer : 

 Etant données deux divisions distributives totales, soient «i, a^, ..., a„, 

 a\, a2, ..., 0,'n' et b^, b^, .,., 6„, b[, b'^,, b',^, deux correspondances" com- 

 plètes, puis e, /", . , ., /, les points coïncidences. 



Les deux systèmes de points 



Wi «2 ... On, b'i b'^ . . . b'n, 

 bi b ... è„, a[ a'2 ... On, 

 déterminent deux divisions commutatives dont les n-hn' points 

 e, f, g, ..., l forment une correspondance complète. 



Nous allons donner maintenant une théorie très importante, celle 

 du Rapport commutatif, c'est en un mot celle du Rapport anharmo- 

 nique généralisée. 



Les démonstrations des différentes propositions étant très simples, 

 nous nous contenterons de les énoncer. 



Théorie du rapport commutatif 



Définition. — Nous appellerons systèmes commutatifs de points 

 d'ordre n des systèmes de n points 



Oj, ^25 •••> ^«5 "11 "21 •••' bri' Cl, C2, ..., Cji, 



tels qu'on peut en considérer un système quelconque comme une 

 correspondance complète de deux divisions en involution commuta- 

 tives totales formées par deux autres systèmes quelconques des points 

 donnés. 

 La relation caractéristique de ces points est donc 

 ttih; ... a„bi ttibj Qnbj 



c,b,...c.l,.- c,6,...,a, (■) 



Etant donnés 4 systèmes de points commutatifs, nous appellerons 

 Rapport commutatif de ces 4 systèmes l'expression 



ajC,-. axi ... anCi aidj. a^df ... andj 

 biCi. b^c; ... bnCi ' bidj.bidj ...bndj 

 Les 4 systèmes de points étant 



a,, ..., fl„, bi,...,bn, Ci,...,Cn, rf,, ..., rf„. (1) 



Nous représenterons ce rapport par le symbole 



{ahbkCidj)i^z^^. 



L — Ce rapport ne change pas de valeur quand on y permute deux 

 quelconques des points d'un même système [on le démontre à l'aide 

 de la relation (1) facilement]. 



IL — Les 4 systèmes de points commutatifs (I) donnent lieu à six 

 rapports commutatifs, dont 3 sont les inverses des 3 autres. Il suffit 



