MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 89 



donc d'en considérer trois. Nous appellerons ces rapports h,, Aj, ^3. 

 Ce seront les suivants 



{aj,bkc4i}ï^l = hi. 



{ahdfJ)iCj)\Ti = Ils. 

 Relations entre ces rapports. — Ces relations sont 



ti2 hi 



III. — La propriété caractéristique du rapport commutatif est 



{aubudd^t^l = {c,4ka;h,^tJl 

 c'est-à-dire que si dans le rapport commutatif {akbkCidj)lV\ on per- 

 mute deux lettres quelconques ainsi que les deux autres, la valeur du 

 rapport ne change pas. 



rV. — Mentionnons aussi l'expression suivante du rapport commutatif 



m,6 . . . ïïinb. m^d . . . rund. 

 (a h r-ri ^'i=" — ^1^ • • • ^^"^^ ttid ... and 



rriib . . . m,ib. miC . . . rUnC 



a\b . . . a„b a^c . . . a„d 



L'étude du rapport anharmonique et celle du rapport commutatif 

 sont donc une seule et même étude. 



Nous préférons le nom de rapport commutatif à celui de anharmo- 

 nique car ce dernier suggère le rapport harmonique qui n'existe pas 

 pour les courbes d'ordre supérieur à l'unité, et que nous avons déjà 

 fait la grande distinction entre divisions harmoniques et divisions 

 anharmoniques, qui paraît beaucoup plus utile et nécessaire que 

 celle de l'invention d'un rapport harmonique : c'est du reste beaucoup 

 plus conforme à la nature des choses. Nous reviendrons sur ce point un 

 peu plus loin, dans l'étude des courbes. 



Avant de terminer cette première partie de notre Mémoire nous 

 allons donner quelques propositions générales d'une très grande utilité. 



Propositions Générales 



I. — Soient 3 divisions de points r, x' x", si les deux divisions 

 X, x' sont algébriques d'ordre n, n' respectivement, et si les divi- 

 sions X, x" sont algébriques d'ordre n, n" respectivement, les deux 

 divisions x', x" seront algébriques d'ordres n»', nn" respectivement. 



II. — Étant données deux divisions algébriques d'ordres w, >i' 



