92 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



n et m qui représentent l'ordre et la classe des courbes. 

 Ces formules sont faciles à démontrer. 



THÉORIE DES FAISCEAUX DE COURBES 



Définitions. — Nous appellerons faisceaux points, ou faisceaux de 

 l^e espèce, de courbes d'ordre n, et d'indice point i, une famille de 

 courbes d'ordre n telle que par un point quelconque du plan passent i 

 de ces courbes. 



De même, nous appellerons faisceau ligne ou faisceau de 2° espèce, 

 de courbes d'ordre n et d'indice ligne j, une famille de courbes 

 d'ordre n et telle qu'on peut mener j de ces courbes tangentes à une 

 droite quelconque donnée du plan. 



On remarquera que ces courbes formant faisceau ne passent pas 

 nécessairement par des points fixes. De là la grande généralité de nos 

 propositions. 



Des faisceaux de courbes correspondants. 



Etant donnés deux faisceaux de courbes, soient 

 cp(j?î/a) = 0, ^(xy^) = 



les équations de courbes données des deux faisceaux. Si entre a et p 

 il existe une relation algébrique 



e(a[3) = 

 de degré p en a et p' en ^ nous pourrons faire correspondre à une 

 courbe du 1^^ faisceau p' courbes du second. Soient 0"', 0"',, . . . 

 0"^ ces courbes, réciproquement à une courbe du second faisceau on 

 pourra faire correspondre p courbes du 1"' faisceau. Soient 0", 0^, 

 ... 0]; ces courbes, on suppose évidemment que les courbes du 

 l^"" faisceau sont d'ordre n, celles du second d'ordre n'. On obtient 

 ainsi deux faisceaux de courbes tels, qu'à une courbe de l'un, on peut 

 faire correspondre un nombre déterminé de courbes de l'autre. 



Nous appellerons un pareil système de faisceaux, faisceaux corres- 

 pondants de courbes algébriques d'ordre w, n', les indices ou ordres 

 de correspondance étant p et p\ 



Il y aura donc deux espèces de faisceaux correspondants : les fais- 

 ceaux points et les faisceaux lignes; les indices des 1°" seront i et ceux 

 des seconds j. 



Comme pour les divisions correspondantes algébriques de points 

 nous dirons que les courbes 



nn r\n' f\n' f\n 



yj ^ yj i^ '-'2» ••• ^ lo 



