MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 93^ 



OU les courbes 



0% 0'/, 0!], ... o; 



forment une correspondance complète. 



Propositions fondamentales. 



1. — Étant donnés deux faisceaux points correspondants d'indices 

 respectifs i, è', de courbes algébriques 0'\ 0"', d'ordres n, n' la 

 correspondance étant algébrique et d'ordres respectifs p, p', une courbe 

 quelconque 0", du 1^' faisceau rencontre les courbes correspondantes 

 OT, 0", du second en des points M. Les points M engendrent une 



courbe dont l'ordre sera 



tipi' -+- n'p'i'. 



En etfetcherchons l'intersection de avec une droite quelconque D. 



Par un point quelconque m de cette droite passent i courbes 0", 

 à chacune d'elles correspondent p' courbes 0"' et chacune de ces der- 

 nières rencontrent D en n' points m', il y aura donc ip'n' points m' 

 que nous ferons correspondre au point m. 



Réciproquement, à un point m' nous pourrons faire correspondre 

 i'pn points m. 



On obtient ainsi deux divisions algébriques correspondantes d'ordres 

 pni\ p'n'i. 



Chaque coïncidence de ces divisions est un point de la courbe 



dont l'ordre sera bien 



pni' -h p'n'i'. 



II. — Étant donnés deux faisceaux points de courbes, comme dans 

 la proposition précédente, si n'>>n, et que u courbes 0" coïnci- 

 dent avec « une des parties » de leurs correspondantes, décomposées 

 en des courbes 0"'"'* et 0", les points M engendreront une courbe 



d'ordre 



pni' -\- p'n'i- — ^n. 



La démonstration est à peu près la même que la précédente. 



III. — Étant donnés deux faisceaux lignes correspondants d'indices 

 respectifs j, /, de courbes algébriques 0"», 0"", déclasses m, m', la 

 correspondance algébrique étant d'ordres, p, p', une courbe quel- 

 conque 0'" du l^r faisceau avec les courbes O'f du second admettent 

 un certain nombre de tangentes communes. L'enveloppe de ces 

 tangentes communes est une courbe de la classe pmf -^p'n'j. 



C'est la proposition corrélative de la proposition ?, on pourrait en 

 énoncer une pour la proposition ii, et les démontrer comme les 

 propositions directes, si nécessaire. 



