'94 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



Une fois pour toutes, toutes les propositions suivantes admettent 

 des propositions corrélatives : on peut les énoncer directement sans 

 autre démonstration. Du reste il serait facile de donner des démons- 

 trations directes en substituant aux points des droites, etc. 



lY, _ Étant donnés deux faisceaux de courbes algébriques, à 

 correspondances algébriques d'ordres p, p', les faisceaux étant d'in- 

 dices i, ï, les courbes d'ordre n, n' , si les courbes de chaque fais- 

 ceau, 0", 0"', passent toutes par un même point commun A, ce point 

 sera un point multiple d'ordre ip'-hi'p de la courbe engendrée 0. 



En effet menons en A les tangentes aux courbes correspondantes 

 0", 0"'. Elles formeront deux faisceaux de droites dont les ordres de 

 correspondance seront respectivement ip' et i'p. Le nombre de 

 rayons « coïncidents » de ces faisceaux de droites est ip'-^i'p. 

 Chaque droite coïncidente représente une tangente en A, à la courbe 

 engendrée. 



Y. — Étant donnés deux faisceaux de courbes, 0", 0"', à 

 indices i, i', les ordres de correspondance étant p, p', si toutes les 

 courbes de l'un des faisceaux, celui du 1°'- par exemple, passent par un 

 point fixe A, ce point sera un point multiple d'ordre i'p, de la 

 courbe engendrée par les points communs à une même correspon- 

 dance complète. 



Et d'abord A est un point de la courbe 0. Soit Ai un point voisin 

 de A. Par ce point passent i' courbes 0"' auxquelles correspondent 

 i'p courbes O, chacune de celles-ci coupant sa correspondante 0"' en 

 un point voisin de Ai puisqu'elles passent toutes par A. Joignons A 

 à ces points communs. Quand A, viendra en A ces droites devien- 

 dront des tangentes à la courbe dont le nombre est évidemment i'p 

 puisque ces points communs se déplacent sur i'p courbes différentes. 



VI. — Toutes les courbes 0", d'ordre n, d'un même faisceau d'in- 

 dice point ?, forme sur une droite quelconque deux divisions algé- 

 briques en involution dont les deux ordres de correspondance sont 

 i(n — 1). 



En effet soit m un point quelconque de la droite. Par ce point pas- 

 sent i courbes 0" rencontrant la droite en i(n — 1) autres 

 points m' que l'on pourra faire correspondre à m et réciproquement 

 à un point w on pourra faire correspondre ?(n — 1) points m, on 

 obtient ainsi deux divisions de points, d'ordres i{n — 1), i(n — 1) 

 respectivement. Le point m considéré de la première ou de la seconde 

 division admet la même correspondance, les divisions sont donc en 

 involution. 



