MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 95 



JNous verrons plus loin qu'un faisceau de courbes d'indice point i est 

 tel que toutes les courbes du faisceau passent par n- points fixes si 

 l'ordre des courbes est n. 



De là l'importance de la proposition suivante. 



VII. — Toutes les courbes 0" d'un même faisceau d'indice point 1, 

 les courbes étant d'ordre n, déterminent sur une droite quelconque 

 deux divisions algébriques en involution commutative totale, d'ordres 

 (n — 1), (w — 1). 



C'est la proposition VI particularisée. 



Nous n'énonçons pas les propositions corrélatives ici. 



THÉORIE DES FAISCEAUX DE COURBES COMMUTATIFS. 



Définitions. — Etant donnés n^ points a. par lesquels on peut 

 faire passer plusieurs courbes 0" d'ordre n, nous dirons que ces n^ 

 points constituent un système de points commutatif d'ordre n. 



Soient 0", 0^. . . un nombre quelconque de courbe 0", d'ordre n, 

 qui passent par un système de points commutatif d'ordre n. 



Ces courbes constituent un faisceau de courbes à indice point 1 . 



Nous appellerons ce faisceau, faisceau commutatif de courbes 

 d'ordres n. 



Propriétés des faisceaux commutatifs de courbes. 



i. — Si les courbes du faisceau sont d'ordre n, sur une sécante quel- 

 conque ces courbes détermineront deux divisions en Involution com- 

 mutatives totales d'ordres n — i, n — 1 . 



a. — Tout faisceau de courbes d'indice point 1 est commutatif: 

 c. a. d. qu'il passe par «- points fixes si les courbes sont d'ordre n. 



En effet soient 0", O'ô, deux courbes du faisceau ; A, un point d'in- 

 tersection de ces courbes. Sur une sécante quelconque passant par ce 

 point les courbes 0" déterminent deux divisions en Involution com- 

 mutatives ; au point A on pourra faire correspondre deux corres- 

 pondances complètes dans l'une ou l'autre division. Ce qui montre 

 que deux facteurs linéaires au premier degré entrent dans l'équation 

 fondamentale des divisions. Le point A est donc bien fixe. 



m. — Etant donnés deux courbes quelconques d'ordre n, et un 

 point quelconque A de leur plan, menons par ce point une sécante 

 quelconque, prenons sur cette dernière un point m tel que si a,, 

 cf2,... On, hi, bi,... /Ç»» sont les points d'intersection de la sécante avec 



