96 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



les courbes 0^, 0% données, on ait 



aiin.ami. . . ttrim a^k.a^k... a„A 



= K. (1) 



biin.bîm. . .ônïTi byk.bc^k. . .bnk 



K étant une constante les points m décriront une courbe 0", d'ordre 

 n passant parles points communs de 0", O'^. 



Si K est différent de 1, sur la sécante km il n'y aura d'après la 

 relation (1) que n points m. 



Aucun de ces points m ne peut coïncider avec le point A, car il 

 faudrait K=l (ceci est important pour la démonstration). La 

 courbe des points m est donc bien d'ordre n. Enfin on voit que 

 quand la sécante passe par l'un des points d'intersection de (yi,0% la 

 relation (1) est satisfaite pour ce point. 0'* passe donc parce point. 



Si K = i, A est toujours un point de la courbe 0" ; puis les trois 

 courbes 0", Oj, 0" déterminent sur une sécante quelconque passant 

 par A deux divisions en involution commutatives totales d'après (1) : 

 il n'y aura donc quand A est quelconque que n — 1 autres points m 

 sur la sécante, car d'après la remarque faite, K = 1, alors (I) devient 



aim... a„?n a, A. . a„A 



bim . . bnin btk. . .6„A 



Ce qui montre que m est correspondant de A dans les divisions 

 commutatives et par suite il ne peut y avoir que n — 1 autres 

 points m différents de A. 



Ceci est important, car la courbe 0'% pour K = 1 n'est autre 

 chose que la courbe passant par les points communs à 0?0 2 et A ; ce 

 qui la détermine. 



Pour n = i la relation 



am ak 

 bm bk 



montre que m décrit une droite, ce qui est bien connu, mais pour 

 K = 1 la droite, qui d'après Ghasles ne doit pas exister, se confond 

 avec la droite passant par A et le point commun aux droites 

 données. 



En d'autres termes le rapport anharmonique égal à 1 a une signi- 

 fication géométrique bien déterminée : ce qui est très utile dans le& 

 applications. 



IV. — Étant données 4 courbes 0", 0", 0", 0" d'un faisceau com- 

 mutatif de courbes d'ordre n, une sécante quelconque recontre ces 

 courbes en 4 systèmes de n points commutatifs. 



