MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 97 



1° Le rapport commutatif de ces 4 systèmes de points est constant 

 quelle que soit la position de la sécante. 



2° Ce rapport commutatif est égal au rapport anharmonique des 

 4 tangentes menées aux 4 courbes 0'/, 0", O;'. o'l> ^n l'un quelconque 

 de leurs n'^ points communs. 



En effetsoient a^,a2, ... a„; ôj , 62, ... à,, ; c^, C2 cn;d^,d,, ... d„ 

 les points d'intersection des courbes 0", 0", O3', O'^', avec la sécante; 

 ces points forment deux divisions en involution commutatives. 



Soient maintenant A l'un quelconque des points communs aux 

 courbes 0" puis 0" une autre courbe quelconque des courbes 0", cette 

 courbe rencontre la sécante en n points m. Menons la tangente en A 

 à Of rencontrant la sécante donnée en m'. 



On pourra faire correspondre au point 771' les n points m et 

 réciproquement à l'un quelconque des points m le point m'. 



On obtient ainsi évidemment deux divisions algébriques correspon- 

 dantes, dont les ordres de correspondance sont 1 et n. 



Parsuite si en A on mène les tangentes aux courbes 0'/, Oô', 03', O4, 

 rencontrant la sécante en a', b\ c', d' les correspondances complètes 

 des divisions qui correspondent à ces points sont 



ajfiifiidj) = [a'b'c'd'). (1) 



k=n 

 A-=l 



ce qui démontre la proposition. 



Cette relation fait encore ressortir davantage que le rapport anhar- 

 monique n'est qu'un rapport commutatif. D'après cela on peut dire, 

 comme pour 4 droites, que le rapport {ï) est le rapport commutatif 

 des 4 courbes 0'/, 0!], O'sS 0^. 



Remarque. — L'étude des divisions que nous avons appelées har- 

 moniques est intimement liée à celle des courbes dites polaires, comme 

 pour les coniques. 



Voilà donc une généralisation utile et nécessaire. 



Du reste le mot harmonique pourrait se justifier par l'harmonie 

 naturelle que présente l'équation qui peut représenter les divisions 



