^8 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



dans laquelle, comme on sait en effet, tous les coefficients sont égaux. 

 Une pareille justification d'un terme est meilleure que celle du mot 

 harmonique dérivée des Anciens. Elle a aussi l'avantage de détruire 

 le moins possible de termes et de notions acquises. 



Nous disons ceci parce que l'on pourrait être tenlé de désigner le 

 rapport commutatif par le terme anharmonique et appeler le rapport 

 commutatif égal à ( — 1), rapport harmonique. Si on faisait cela, 

 sans rien changer au fond des choses après tout, on arriverait à une 

 terminologie singulière. 



Car, par exemple, reprenons les courbes 0", O2, puis faisons corres- 

 pondre à la courbe 0" la courbe 0", ces courbes étant telles que leur 

 rapport commutatif soit —1. Les propriétés correspondantes des 

 coniques ne sont plus généralisées et quoiqu'on obtienne des pro- 

 priétés particulières très intéressantes, la valeur géométrique de ces 

 résultats n'est pas à comparer à celle des divisions que nous avons 

 appelées harmoniques. Du reste la valeur géométrique des divisions 

 commutatives, des points commutatifs et des courbes commutatives 

 est trop importante et leur étude trop intimement liée à celle du rap- 

 port commutatif pour pouvoir désigner ce dernier par rapport anhar- 

 monique dont la justification ne se trouverait que dans une valeur 

 numérique particulière du rapport et dajis cette valeur numérique 

 seule. 

 On ne trouvera peut-être pas ces quelques lignes tout à fait inutiles. 



Propriétés des faisceaux commutatifs correspondants, la correspon- 

 dance ÉTANT algébrique, ET LES ORDRES DE CETTE CORRESPONDANCE 

 ÉTANT CHACUN ÉGAL A l'uNITÉ. 



I. — D'après ce que nous avons vu, les courbes de chaque faisceau 

 passent par n^ ou n'^ points fixes, ti et n' étant les ordres des 

 courbes des deux faisceaux correspondants. 



II. — Soient Of, Of , deux courbes correspondantes des deux fais- 

 ceaux, A l'un des points fixes par lequel passent toutes les courbes 

 0", B' l'un quelconque des points fixes par lequel passent toutes les 

 courbes 0"'. En ces points A et B', menons les tangentes aux 

 courbes 0", Of qui se correspondent, ces tangentes formeront deux 

 faisceaux homographiques de droites. 



Car soit Âa une droite quelconque passant par A; à cette droite on 

 ne peut mener qu'une seule courbe 0" tangente en A et passant par 

 les autres points A, à cette courbe 0" ne correspond par hypothèse 

 qu'une seule courbe 0"' du second faisceau et à 0"' on ne peut mener 

 qu'une tangente en B soit Ba' et réciproquement, donc etc . . . 



