MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 99 



m. — Le rapport anharmonique de 4 tangentes du premier faisceau 

 de courbes est donc égal à celui des 4 tangentes correspondantes dans 

 le second. 



IV. — Etant donnés deux faisceaux commutatifs de courbes d'ordres 

 respectifs n, n', les ordres de la correspondance (algébrique) étant 

 chacun égal à l'unité; soient 0", 0", O3, O'I, 4 courbes quelconques 

 du !«'■ faisceau et Of, O'â', Of , 0"' les 4 courbes correspondantes du 

 second. Le rapport commutatif des 4 premières est égal au rapport 

 commutatif des4 dernières. 



Cette proposition résulte immédiatement de la précédente et de la 

 proposition lY. 



V. — La proposition III nous donne encore la suivante : 



Étant donnés n^ points commutatifs fixes A, ainsi que n'- points 

 commutatifs B . Pour déterminer deux faisceaux de courbes 0", 0"', 

 commutatifs et se correspondant courbe à courbe, les ordres de la cor- 

 respondance étant égal à l'unité pour chaque faisceau, il suffit de se 

 donner trois correspondances de courbes. 



\j ^, \j^ , \j.2) yji ) '-'35 W3 . 



Car soit O4 une courbe quelconque du l"' faisceau, menons la tan- 

 gente en l'un des centres commutatifs à 0" puis la droite homologue 

 du faisceau des tangentes dans le second faisceau de courbes. La 

 courbe O'I' sera tangente à cette droite au centre correspondant ; cette 

 courbe est donc bien déterminée. Donc, etc. . . 



En comparant tous ces résultats avec la théorie des faisceaux homo- 

 graphiques on voit toute l'importance de ces propositions. 



Propriétés des systèmes de points commutatifs 



Les points commutatifs jouissent de nombreuses propriétés très im- 

 portantes. 



Nous ne pouvons en donner que deux ici, dont nous aurons à en 

 faire usage dans le prochain chapitre. 



Proposition l. — Etant donnés ■ \^ — 2 points fixes, w. 



Tout point A du plan détermine avec les points w un système com- 

 mutatif de points, d'ordre n, c. à. d. les courbes passant par 

 ces points seront d'ordre n.) Soient a les points au nombre de 



,i2 !xi_ ^ _i_ i qui avec les points 10 et le point A font partie 



<lu système. 



