100 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



Quand le point A décrit une courbe 0'", d'ordre m, tous les points 

 a décrivent la même courbe d'ordre 2mn'^ — n. 



En effet soient w' et w" deux autres points quelconques fixes, ils 

 déterminent avec les points w deux systèmes commutatifs que nous 

 appelerons w', w". 



Par le système w' faisons passer une courbe quelconque 0"w' 

 d'ordre n, elle coupera la courbe 0'" en mn points A. Par chacun de 

 ces points A et les points du système J' on pourra faire passer une 

 courbe 0"a)" d'ordre n, on obtient ainsi mn courbes 0"-<j)" que l'on 

 pourra faire correspondre à la courbe 0"to'. 



Réciproquement on pourra faire correspondre à une courbe O^w', 

 mn courbes 0"^w'. 



Nous avons ainsi formé deux faisceaux commutatifs de courbes, les 

 ordres de la correspondance étant mn chacun. 



Par suite la courbe décrite par les points d'intersection d'une courbe 

 de l'un des faisceaux avec ses correspondantes décrivent une 

 courbe d'ordre âmn^. 



Mais comme la courbe qui passe par les points ww' et w" constitue 

 une coïncidence des courbes génératrices, on voit que l'ordre de la 

 courbe cherchée est %nn'^ — n. 



Ces points d'intersection sont précisément les points a, donc etc. 



Nous n'étudierons pas la courbe O^"'"--"'^. 



Proposition II. — Il existe toujours sur une courbe donnée 0'", 

 d'ordre m, ■■ — - points commutatifs, c.à.d. appartenant à un 



Â 



même système commutatif. 



En effet prennons sur 0'", — ^^-^ — 2 points arbitraires mais 



fixes. Soit A un point quelconque de 0'". Quand A se déplace sur 0*" 

 les points a qui avec A et w déterminent un même système commu- 

 tatif décrivent une certaine courbe 0. 



Cette courbe coupe 0™ en des points 6. Soient 6, l'un 

 de ces points. Quand l'un des points « sera en 6^, A sera en un 



certain point Aj et les ^ — — points A^, 6^ et w seront commu- 



tatifs, donc etc. 



On peut remarquer que la courbe passe par le point Aj, c. à. d. 

 que Aj sera l'un des points 6. 



„ ' , n(n -H 3) . . , .- 



Proposition III. Etant donnes ^ 2 — i pomts w fixes 



sur une courbe 0"\ d'ordre m, eti points variables w' sur 0'", si on peut 

 trouver \ -+-i points w" sur 0'" qui avec les points w et w', w "et w' 



