MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 101 



forment un système commutatif, et si, quand on fait varier l'un des 

 points to", les autres points a qui avec les points w, w' oj" forment un 

 même système décrivent une même courbe 0, alors dis-je on pourra 



trouver sur la courbe donnée O"' -^-^-^+ « points commutatifs 



€t si on fait varier l'un des points to les points a qui appartiennent à 

 tous ces systèmes de points décrivent une courbe Oj. 



En effet, puisque quand l'un des points w" varie, (soit w" ce point), 

 les a décrivent une courbe 0, cette courbe rencontre 0'" en des points 

 0. Soit Gj l'un de ces points. Quand l'un des points a sera en 0^ le 

 point OJ, sera en un certain point ro, et la l^^^ partie de la proposition 

 «st démontrée. 



Considérons maintenant un de ces systèmes de points commutatifs: 



•1 , n(n-h^) 



il se composera de ——^ — - — -2 — i pomts œ et de 2i h- 2 



autres points que nous désignerons par p (les w', oV et OJ. Les points 

 a qui appartiennent à ce système et qui ne sont pas sur 0'" se trouvent 

 d'une part sur la courbe et d'autre part sur une courbe 0" d'ordre n 

 passant par les to et les p, et un autre point arbitraire pour bien la 

 déterminer. Prenons maintenant l'un quelconque des points oj et 

 faisons-le varier sur 0'". La courbe 0" se déplacera suivant une cer- 

 taine loi (il suffit de déterminer son indice point pour connaître cette 

 loi, mais nous n'en avons pas besoin ici ; il est du reste facile de le 

 faire). Il en est de même de la courbe 0, donc les points d'intersec- 

 tions de et de 0" se déplacent suivant une certaine loi, en. d. 

 décrivent une courbe Oj. 



Les deux dernières propositions nous donnent immédiatement la 

 suivante, celle que nous nous proposions d'établir ici. 



Proposition.— Sur toute courbe 0""^"', d'ordre n-hn', n et n' 

 étant deux nombres quelconques positifs, il existe toujours, sur 0""*""', 

 des systèmes de n^ points commutatifs d'ordre n. 



En effet d'après la proposition II il existe d'abord sur 0»+»-' 



n ( n -\— 3 ) 



— !: ■ points w commutatifs, d'après III quand l'un de ces points 



varie, les points a du système en dehors de 0"+"' décrivent une 



n(n -+-3) 

 courbe donc on pourra trouver —-^^ — - -f- 1 pomts w commu- 

 tatifs sur 0"+"' d'après la première partie de la proposition III. 

 En continuant ainsi successivement, on pourra (avec la prop. : III.) 



trouver sur 0"+"' ^-^— - — --i-i points co commutatifs. 



