104 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



une courbe quelconque 0"^"' d'ordre n + n', il y en aura toujours 



n(n + 3) . , , . , , 



parmi ces nn points, qui ne déterminent qu une seule 



courbe d'ordre n. 



2e Partie. 



Soit maintenant, sur la courbe donnée, 0"+"', un systèifte com- 

 mutatif quelconque de points w', d'ordre n'. 



Par ces points menons deux courbes 0'/, 0'/; rencontrant 0"+"', 

 la première en nn' autres points a, et la seconde en nn! autres 

 points p. 



Parmi les points a prenons ' points qui ne déterminent 



qu'une seule courbe Oï d'ordre n et considérons cette courbe. 



Considérons de même la courbe Ol' obtenue à l'aide de — — r 



2 



points des points (i. 



L'ensemble des courbes 0'/, 0'^, forment une certaine courbe 

 d'ordre n + w', soit 0?+"', il en est de même de l'ensemble des 

 courbes 0»', Oï. Soit 01+"' cette dernière. 



Ces courbes Oï+"', O2+"', se coupent en (w -h w')^ points com- 

 muta tifs. 



En d'autres termes les n'^ points o/, les — - points a et les 



Â 



n(n -+- 3) 



3 points (i que nous avons considérés déterminent un sys- 

 tème de points commutatifs d'ordre n + n'. 



Je dis qu'ils n'en déterminent qu'un. 



Car sinon, soit A un quelconque des points de l'un de ces systèmes. 

 Par un autre point quelconque B du plan et les points de ce système 

 il ne passera qu'une seule courbe d'ordre n h- n'. 



Supposons maintenant que B soit sur 0'/ ou 0"' en dehors des 

 points w'. La courbe se décomposera évidemment en 0", 0" ou en 

 O2 Oï, selon le cas choisi, car cette courbe a avec Oï', par exemple^ 

 si <p est sur 0'/' ; 



w'%^ H- n(n + 3) -t- 1 points communs. 



/j/ i)(n' 2) 



Comme n'^ -i- n{n -h 3) H- 1 > (n -h n')n' ^^ ^ a ton- 



jours lieu quels que soient n et n'{n' > n) puisqu'on peut la mettre 

 sous la forme : 



(n' — n— l)(n'— w — 2)-hw24-3nH-2 > 0, 



