MÉMOIRE DE GÉOMIÉTRIE 105 



et comme la courbe que nous considérons est unique, on voit ijien 

 qu'il y a décomposition en les courbes Of et O.^. Ce qui prouve que 

 A est sur l'une des courbes OT ou O'i et de même sur l'une des 

 courbes O2' ou 0". 



Il n'y a donc bien qu'un seul système commutatif déterminé par les 

 courbes 0'/+"', 0'^+»'- 



D'après cela la courbe déterminée par ce système et un point quel- 

 conque du plan est unique. 



Cherchons maintenant le nombre de points de ce système com- 

 mutatif (O'i'"^"', 0'^"^"') qui se trouvent sur la courbe donnée. 



11 y a d'abord les n'^ points 0/ 



puis les -^-â pomts a et p. 



En tout 



n'2 + n{n + 3) 



points. Or 



,, . „^^ (n -t- n'){n -]~ n' -\- 3) 

 n'^4-n(n+3)>^ ^ -^ — 1, 



car cette inégalité revient à 



in' — n — i){n' — n — 2) > 0, 

 ce qui a toujours lieu. 



On conclut de là que la courbe donnée 0"+"' passe par tous les 

 points communs aux 4 courbes O'î', 0? 0", 0", se coupant deux à 

 deux. 



De là nous concluons déjà la proposition suivante qui est fonda- 

 mentale. 



Proposition fondamentale. — n' étant plus grand que n, toute 

 courbe 0"' qui passe par n'^ points w' commutatifs d'ordre n' et 

 situés sur une courbe 0"+"' rencontre cette dernière en »n' autres 

 points a, qui sont tous situés sur une courbe 0", d'ordre n et cette 

 courbe 0" passera par n^ points w tixes commutatifs d'ordre n 

 situés sur 0""^"' quand on fera varier la courbe 0"' . 



Cette proposition montre d'abord que, »'>'!, sur toute courbe 

 0"+"\ à un système commutatif de points co', d'ordre n', on pourra 

 faire correspondre un autre système de points w commutatifs d'ordre 

 n également sur la courbe O""*""' . 



Nous dirons que ces deux systèmes to, 0/ sont conjugués. 



3e Partie. 



Considérons maintenant les faisceaux commutatifs correspondants 

 de courbes 0", 0'*', d'ordres n, n\ ces courbes passant par les points 



