106 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



de deux systèmes commutatifs w, w' conjugués sur la courbe donnée. 

 Pour déterminer ces deux faisceaux il faut nous donner trois cor- 

 respondances. Nous prendrons les suivantes : 



oïor-, 0?, 0!]', 



puis à la courbe 0" passant par un autre point quelconque A de 

 Qw+w j^Qyg ferons correspondre la courbe O3' passant par le même 

 point. 



Dans ce système de faisceaux, les courbes 0" rencontrent leur cor- 

 respondante en des points qui décriront une courbe d'ordre n -+- n' . 



Soit O'i"^'*' . — Cette dernière passe par les 

 n^ points w, les n'^ points w', 

 les »n' points a, les nn' points p, 

 enfin le point A. 



En tout (n -+- n'f + 1 points tous situés sur la courbe 0"+"' . 

 Donc elle coïncidera avec 0"+"' . 



C'est ce qu'il fallait démontrer. 



La proposition a été démontrée dans le cas où n et n' sont tous 

 deux positifs. 



La proposition a également lieu quand l'un d'eux est négatif. Nous 

 n'en donnerons pas la démonstration ici. 



Il semble en réfléchissant un peu qu'on puisse simplifier cette 

 démonstration. Il existe en effet d'autres démonstrations en apparence 

 très courtes, mais on peut à toutes leur faire l'objection suivante : 

 Les points considérés et déterminant la courbe 0"+"', avec le point A 

 peuvent être commutatifs quel que soitle point A. Et on sait que ces 

 cas sont très nombreux. Qu'on prenne par exemple 20 points sur une 

 quartique et une courbe du Q*'- ordre, tout point A avec ces 20 points 

 seront commutatifs. 11 fallait éviter cette objection. 



Avant de montrer la portée de cette proposition nous allons com- 

 pléter la proposition directe. 



Proposition. — n' étant plus grand que n, toute courbe 0" qui 

 passe par n^ points fixes commutatifs situés sur une courbe 0"^"' ren- 

 contre cette dernière en nn' autres points. 



c- • / • X , n'(n' -\-S) , . , 



bi parmi ces nn pomts on- en prend — ^^—3 -^ ou bien nn' 



n'(n'-+-3) 

 étant plus petit que — -, si on prend tous ces points et 



n'in'-hS) 



- — nn autres arbitraires w' fixes, et qu'on y fasse passer 



une courbe 0"' d'ordre n', cette courbe rencontre 0"+"' en d'autres 

 points w' qui avec les premiers formeront un système commutatif . 



