MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 107 



Toute autre courbe 0!]' coupera 0"+"' sur une courbe 0" passant 

 par les w et réciproquement. 

 Pour le démontrer il suffit de considérer le cas 



nn < 



En considérant les faisceaux commutatifs correspondants, les ordres 

 de la correspondance étant chacun Tunité, déterminés par les 3 cor- 

 respondances 



o;' 0'/' 

 o:/ or 



G« or, 



Q7, 0'/', O25 O2' étant déterminés comme nous l'avons dit, 0" étant 

 une courbe quelconque passant par les w et un point arbitraire de 

 0"+"', O3', la courbe passant par ce point et les points communs à 



of, o;^ 



Alors 0" rencontre O'f en des points qui décrivent une courbe 

 0'î+"' ayant avec, 0'*+"' 



n'(n'-+-3) , . 



n^ H -— -i- nn -\- 1 points communs. 



c'est-à-dire en tout 



(n + n'){n -h n' -h 3) (n — 3)n -+- 2 



Les courbes 0"+"' et 0"^"' coïncident donc si ces points ne déter- 

 minent qu'une seule courbe. C'est ce qui a lieu. Mais nous ne donne- 

 rons pas la démonstration de ce dernier point ici, l'espace ne le per- 

 mettant pas. 



Cette dernière proposition montre que pour déterminer les fais- 

 ceaux générateurs de la courbe 0"^"' on peut commencer indistincte- 

 ment parles points w ou les points w', ce qui était le point impor- 

 tant que nous voulions faire remarquer. 



Appliquons maintenant la proposition directe et fondamentale à 

 quelques cas particuliers: 



Nous aurons successivement les beaux théorèmes suivants. 



Théorème I. — Étant donnés (n — 1)^ points w commutatifs sur 

 une courbe 0", d'ordre n, toute courbe 0""' d'ordre n — 1 pas- 

 sant par ces points coupe 0" en n — l autres points «. 



1° Ces points sont tous sur une droite. 



2° Cette droite passe par un point fixe w' situé sur 0". 



Théorème II. — Étant donnés (n — 2j- points w commutatifs sur 



