108 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



une courbe 0", toute courbe 0""^ passant par ces points coupe 0" en 

 2(n — i2) autres points a. 



1° Ces points a sont tous sur une conique. 



2° Cette conique passe par 4 points o/ iixes situés sur 0» quand 

 ()n-2 varie. 



Et ainsi de suite dans cet ordre d'idées. 



Théorème 111. — Il existe une infinité de systèmes de faisceaux com- 

 mutatifs correspondants, les ordres de la correspondance étant l'unité 

 chacun, les courbes du 1^' faisceau étant d'ordre n — 1 et le second 

 faisceau étant un faisceau de lignes droites et tels qu'une droite quel- 

 conque du second rencontre la courbe correspondante dans le 1®'' fais- 

 ceau en n — 1 points qui engendreront une courbe donnée 0«, 

 d'ordre n. 



Théorème IV. — Il existe une intinité de systèmes de faisceaux cor- 

 respondants de courbes 0"~- et de coniques, les ordres de la corres- 

 pondance étant chacun l'unité et tels qu'une conique quelconque du 

 2"" rencontre sa courbe correspondante dans le 1" faisceau en 2(n — 2) 

 qui engendreront une courbe donnée quelconque d'ordre n. 



Et ainsi de suite. 



Nous avons donné explicitement ces 4 théorèmes, quoique en appa- 

 rence inutiles, pour montrer la valeur de la proposition fondamentale et 

 parce que ces 4 théorèmes sont les basesdes belles propriétésdes courbes 

 algébriques d'ordre quelconque que nous allons donner. 



Mais d'abord appliquons le théorème III aux cubiques. 



Constructions des cubiques par points. 



Soient 9 points A déterminant une cubique. Prenons 4 de ces 

 points Al, A,, A3, A4, faisons y passer une conique quelconque, par 

 exemple celle composée des deux droites A1A2, A3A4. 



A1A2 rencontre la cubique en a, ce point est très facile à construire 

 géométriquement. 



AgAi rencontre la cubique en ^ è; ce point est aussi connu géomé- 

 triquement. Enfin ab rencontre la cubique en w' également facile à 

 construire. Alors on pourra considérer deux faisceaux de droites pas- 

 sant par w' et de coniques passant par Ai, A2, A3, A4, commutatifs 

 correspondants pour décrire par point la cubique donnée. 



Tout revient à déterminer les 3 points a, h, w pour pouvoir le faire. 



Or il est facile de déterminer à l'aide du compas et la règle seuls, le 

 Sine point d'intersection d'une droite avec une cubique, connaissant 

 deux des points. Nous ne donnerons pas cette solution ici. 



