no MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



En effet, soit une sécante quelconque^ prenons sur cette sécante un 

 point quelconque m. 



Par ce point passe une seule couri3e 0" du 1"'' faisceau, à cette 

 courbe ne correspond qu'une seule courbe 0'*' du second, 0"' ren- 

 contre la sécante en n' points m' que l'on pourra faire correspondre 

 au point m, ou à l'un quelconque des n points m d'intersection de 

 0" avec la sécante. 



Et réciproquement. Donc, etc. 



Soient 0", 0"', Oj, Of, 03,0"', trois correspondances quelconques 

 des faisceaux. 



Représentons les points d'intersection de ces courbes avec la 

 sécante respectivement par 



tti, 0,2. ... a,„', o'j, Cîj, . . , fl'„o 

 bi, hi, ... bn-, b\, b',, . . . 6',,,, 



Cl, Cj, ,..€„', Cj5 C2, . . . C »:, 



enfin soient m, m' deux points correspondants quelconques, on aura 

 entre ces points la relation suivante (qui est comme on sait l'équation 

 caractéristique pouvant représenter les divisions distributives) 



«i??i.a2m ... a„m aiC,-.tt2C,- ... a„c,- 



bim.b^m ... 6„m " b^d.b^Cj ... bnCi 



a[m' . . . a'j^im' a\c] ... a'„,Cj 



b[m' . . . b'n,m' b\c'j ... b'nic] ' 



La courbe 0"+"' rencontre la sécante en n + n' points, pour ces 

 points m on aura 



aim ... anin UiC ... a„c a\m ... a'„,m a\c ... a',^,c' 



(Il 



nfi 



(111) 



biVi ... b„7n ' bxC ... b„c b'im... b'nim ' b\c' ... b'n'C' 



enfin si c est sur la courbe, soit jo, il viendra 



ttiWî ... a„m _ Gif ... a„'p a\m ... a'„,m _ a'ip ... a'„,p 



biin ... b„in ' bip ... bnp b\m ... b'njm ' b\p ... b'n'P 



Ces relations nous seront très utiles. 



Proposition. — Etant données deux correspondances OïO"', O^'O!]', de 

 deux faisceaux générateurs d'une courbe 0""+""' quelconque, et un 

 point fixe A, quelconque, du plan. Par A menons une sécante 

 quelconque rencontrant les courbes O'/Oï', Q2O2', aux points 

 a.ia2...a„; a[cC...a'nf; bib2...bn', b'^b'^... b'„,. 



Les points m, oii la sécante rencontre la courbe donnée 0""^'*' satis- 

 font à la relation 



ai7n...an7n _ aiA...a„A _ a\m...a'„,m _ ajA...a;,,A 

 bim...bnm ' b^A ... bnk ' b'iin ... b'nim ' b[A....b'n'A ' 



