MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 111 



k étant une constante quelle que soit la direction de la sécante. 



En effet reprenons les courbes des trois correspondances 0','0';', 

 O2O2', O3O3', et appliquons-leur la relation démontrée dans la théo- 

 rie des faisceaux conimutatifs. On aura 



aiC; ... ClnC; _ OfiA ... a„A 



biC; ... b„Ci ' 6, A ... br,k ~ " 



k étant une constante quelle que soit la direction de la sécante. On 

 aura de même 



a[Cj ... a\,,Cj _ a',A...«'„'A 



b\Cj ... b'niCj ' b\k ... b'nik. 



En combinant avec la relation I ci-dessus on obtient la relation 

 cherchée. 



La formule I se prête à beaucoup d'applications. 



Proposition. — Etant donnés deux faisceaux générateurs d'une 

 courbe algébrique 0"+"'. Toute courbe 0« du premier faisceau ren- 

 contre une sécante quelconque passant par deux des points d'inter- 

 section de la correspondante 0;" de 0'/ avec 0"+"' en des points qui 

 forment deux divisions en involution commutatives totales dont les 

 points communs à 0"', 0""^"' et la sécante sont deux points corres- 

 pondants. 



Il est facile d'établir cette proposition. 



Supposons n = 'i, n' = n — 2. 



On obtient ainsi la proposition suivante. 



Proposition. — Propriété du quadrilatère inscrit daDS une courbe 

 algébrique. — Etant donné un quadrilatère quelconque inscrit dans 

 une courbe algébrique W1W2W3W4, considérons un système commutatif 

 w' de points d'ordre n — 2 conjugué des points w. 



Une courbe quelconque 0"~^ passant par ces points admet avec la 

 courbe donnée 0""*""' des sécantes passant par deux de leurs points 

 communs m,-, mj. Ces sécantes rencontrent les côtés du quadrilatère 

 en des points qui avec les points m;, rrij de la courbe 0"+"' forment 

 deux divisions homographiques en involution. 



En appliquant aux cubiques, on obtient : 



Proposition. — Etant donnés 4 points d'une cubique. Soit w le 

 point commutatif conjugué du système commutatif de ces 4 points. 

 Une sécante quelconque passant par oj rencontre les côtés du quadrila- 

 tère des 4 points et la cubique en 6 points en involution. 



Supposons que le quadrilatère soit celui formé par les 4 points des 

 2 points de contact à l'intini sur deux asymptotes. On a la belle pro- 

 position suivante : 



