112 PdÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



Proposition. — Étant donnée une cubique quelconque 0^. Soient 

 ?i. ^2, Î3, les trois points à distance finie où les asymptotes coupent la 

 courbe (ces points sont en ligne droite) . Une sécante quelconque pas- 

 sant par Tun de ces points ? coupe la courbe et les asymptotes qui ne 

 passent pas par ce point en des points tels que les segments compris 

 entre la courbe et ces asymptotes soient égaux (c'est une propriété 

 correspondante à celle de l'hyperbole) . 



En faisant de même pour une courbe quelconque on a : 



Proposition. — Étant donnée une courbe quelconque. Soient 

 cfj ... ^i les points où les asymptotes rencontrent la courbe à distance 

 finie. (Ces points sont tous sur une courbe 0""^ d'ordre n — 2. ) 



Soient Aj Aj, deux quelconques des asymptotes, tous les points ç 

 qui ne sont pas sur Aj A2, au nombre de (n — ^)^ sont commuta- 

 tifs. Une courbe quelconque 0""^ passant par ces points coupe la 

 courbe donnée en des points m. 



Toute sécante joignant deux de ces points m coupe les asymptotes 

 Al A2 en des points tels que les segments compris entre ces asymptotes 

 et ces deux points m soient égaux. 



(Soient mj m^ les deux points m, par où passe la sécante, et ai a^ 

 les points de Aj A2 sur la sécante, on aura a^nii = a^m-u ) 



La même proposition appliquée aux courbes générales donne : 



ProjtJosia'on.— Étant donnée sur une courbe 0" d'ordre n, un système 

 quelconque commutatif de points d'ordre n — 1, soit w' le point 

 commutatif conjugué de ce système, et Of~S Oj"^ deux courbes quel- 

 conques passant parle l^'^' système. Toute droite passant par w' ren- 

 contre les courbes 0", 0'/"% 01'^ en 3 systèmes de n — 1 points 

 qui appartiennent aune division en involution commutative totale. 



On pourrait encore formuler d'autres propositions intéressantes ; mais 

 comme elles sont toutes contenues dans la proposition générale, nous 

 nous contenterons de mentionner encore l'avant-dernière proposition 

 appliquée aux quartiques. Et nous allons maintenant traiter de pro- 

 priétés plus en rapport avec le but de ce Mémoire. 



II. — Propriétés des asymptotes des courbes algébriques. 



Proposition. — Soit 0'^ une courbe d'ordre n. Soient 6j, 62, ..., 

 0„, ses n asymptotes, et cp(y) les points à distance finie où ces droites 

 rencontrent 0„. 



Tous ces points au nombre de n[n — 2) sont tous sur une courbe 

 0"~'2 d'ordre n — 2. Nous l'appellerons la courbe des points 'f ou 01"- - 



Il est facile de démontrer cette proposition. 



