MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 113 



11 est facile de voir aussi que tous les points sur G^'-^ ^j. n — 2 

 asymptotes quelconques donnent (n — 2)^ de points o commutatifs. 



Proposition. — Soient 0" une courbe algébrique, 0""^ sa courbe 

 des cp et A un point quelconque du plan. 



Par ce point menons une droite quelconque rencontrant les asymp- 

 totes au point a,, la courbe des tp aux points p, et la courbe 0" en des 

 points m. 



Quelle que soit la sécante on aura 



aim.aom. . . a„m _ «lA. . . a„A 



ptm-P2m...p„_2m ' ^iA...p„_2A "" ' ^' 



K étant une constante quelle que soit la direction de la droite. 



Il est facile de démontrer cette proposition, car en prenant (n — l)^ 

 de points to, situés sur n — 1 asymptotes 6, la courbe des <f et la 

 droite de l'infini on obtient un système commutatif dont le point com- 

 mutatif w', conjugué est le point à l'infini sur la dernière asymptote. 



En appliquant à ces systèmes la proposition générale sur les sécantes 

 la relation (I) se trouvera établie. 



Nous ne ferons aucune application ici de cette proposition. 



Si on représente par di la distance du point m de la courbe à 

 l'asymptote 6^ la relation (1) pourra s'écrire 



, ^lA...pn-2A „ 



di.d2...d,,.- = K. (il). 



Pim . . . p„_2W 



K étant également une constante. 



III. — Propriétés géométriques des foyers d'une courbe algébrique. 



On sait qu'on appelle foyer d'une courbe algébrique un des points de 

 rencontre des tangentes issues des points cycliques à la courbe. 



Une courbe algébrique a en général n\n — 1)^ de foyers, dont 

 n{n — 1) sont réels. 



Proposition. — Etant donnée une courbe algébrique 0" d'ordre n. 

 Soient F l'un de ses foyers et D la droite qui joint les points de con- 

 tact des droites isotropes issues du foyer. (Nous appellerons cette 

 droite la directrice du foyer F.) 



Menons les tangentes à 0" aux points où la directrice rencontre cette 

 courbe. Soient 6^ ces tangentes. Ces tangentes rencontrent 0" en des 

 points ']>. 



1° Ces points <V sont tous sur une courbe 0""^ d'ordre n — 2. 

 Nous l'appellerons la courbe des ^ ou 0""'. 



Soit enfin A un point quelconque du plan. Par ce point menons 



