114 MÉMOIKE DE GÉOMÉTRIE 



une droite quelconque rencontrant la courbe des <]> aux points a,, et 

 la courbe 0" aux points m,. 



Représentons enfin par di la distance du point m de la courbe à 

 l'une des tangentes 5; et par d, la distance du même point à la direc- 

 trice, pour tout point m de la courbe on aura : 



d^ aim . . . a„_2m .. 



7 ; — = Jv , ( 1 ) . 



R2 . (/i . c/a • . • o^n-2 aiA...o„_2A 

 R étant la distance de m au foyer, F et K une constante. 



11 est facile de démontrer cette relation. Nous n'indiquerons que les 

 points saillants de la démonstration. 



Soient ai, a^^ les points de contact des droites isotropes issues de F. 



Les coniques tangentes en aj et aa à la courbe 0" forment un 

 faisceau commutatif de courbes du second ordre. Les {n — 2)* 

 points 4- qui ne sont pas sur les droites isotropes forment un système 

 commutatif d'ordre n — 2 conjugué des points («i, «i, a^, a^) on 

 connaît donc ainsi deux faisceaux générateurs particuliers de la courbe 

 donnée. 



En appliquant à ce système la proposition générale sur la sécante la 

 relation (I) se trouvera établie. 



On peut généraliser les propositions sur les asymptotes et sur les 

 foyers. 



Faisons remarquer que quand la directrice et le foyer correspon- 

 dant sont connus il est facile de déterminer géométriquement la 

 courbe 0""^ à l'aide de la relation (I), ce qui est utile car on ne con- 

 naît pas géométriquement les droites isotropes. 



IV. — Propriétés des systèmes commutatifs de points 



SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE 



Étant donnée une courbe 0»"+'", algébrique et d'ordre n-\-n' 

 et soit w' un système commutatif de points d'ordre n' sur 0"+"', 

 une courbe quelconque Of passant par ces points rencontre 0"+"' en 

 nn' points e. Nous appellerons ces points e les points du système E? 

 des points oV . 



Proposition. — Étant donnée une courbe 0"^""', (n' << n). 

 Soit w' un système commutatif d'ordre n' sur 0"+"'. 

 Considérons 4 systèmes Ei, E^, Es, E4 quelconques des points w'. 

 Un système commutatif d'ordre n conjugué du système w' est tou- 

 jours tel : 



1° que les courbes 0", O'â, O3, O", qui passent par ce système w et 



