MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 115 



l'un quelconque des points e des systèmes E passent par tous les 

 autres points e du même système E. 



2° Le système conjugué m se déplaçant sur la courbe 0»"^"', le 

 rapport commutatif des quatre courbes 0'/, O'J, 0", 0" est constant 

 quel que soit le système w sur 0""+""'. 



D'après tout ce que nous avons dit, il n'est pas diflicile d'établir 

 cette proposition. 



Proposition. — Étant donnés (n -h n')^ de points commutatifs 

 d'ordre n-hn', si parmi ces points il y en a n^ commutatifs entre 

 eux d'ordre n tous les autres points du i^'' système seront sur une 

 courbe d'ordre 2n'. 



En effet considérons deux systèmes de faisceaux générateurs de 

 courbes, O'^, 0'*' et 0" 6"', de deux courbes O'^'^'", 0'/+'" passant par le 

 système d'ordre n-hn', ces faisceaux étant construits à l'aide du 

 système d'ordre w, nous donnant ainsi des courbes 0" communes aux 

 deux systèmes de faisceaux. 



D'après cela les faisceaux 0"' et 0«' seront également correspondants 

 et 0"' rencontrera 6"' en des points sur une courbe 0-"' qui passera 

 par tous les points du système d'ordre n -i-n' et n'appartenant pas 

 an système d'ordre n, donc etc. 



V. — Propriétés des normales a une courbe algébrique 



MENÉES PAR UN POINT DONNÉ P. 



Soit 0" la courbe donnée. 



Considérons un point quelconque à l'infini. Soit 0"~^ sa polaire 

 par rapport à 0", OT] passe par (n — 1)- de points fixes. 



A ces polaires 0""' faisons correspondre les droites perpendiculaires 

 menées par P (le point donné) aux tangentes, toutes parallèles, menées 

 parles n{n — 1) points communs de 0" et de 0'/"^ 



Nous formerons ainsi deux faisceaux commutatifs de courbes et de 

 droites. 



Les points communs k une même correspondance décrivent une 

 courbe d'ordre n, cette courbe passe par : 



i" les pieds des normales menées de P à 0". 



2" par P. 



3° par les {n — 1)- pôles de la droite de l'infini par rapport à 0". 



40 par les points singuliers de 0". 



De plus : 



5° Si M GO est un point à l'infini de cette courbe des pieds des nor- 

 males et si on prend le conjugué harmonique d'ordre 1 de ce point 



