116 MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE 



par rapport à 0", soit M' oo ce point, l'angle M ooPM' oo sera droit. 



60 On peut mener n^ normales par un point donné à une courbe 

 d'ordre n. 



Nous finirons ce Mémoire par la proposition suivante sur les courbes 

 polaires, comme application directe des propositions précédentes» 

 ajoutons que toute la théorie des courbes polaires pourrait se faire 

 aussi simplement que celles des coniques faite à l'aide de l'homogra- 

 phie, si on veut se servir de l'hétérographie algébrique que nous 

 venons d'exposer. 



VI. — Propriétés des courbes polaires. 



Proposition. — Les courbes polaires d'ordre i d'un point fixe P, par 

 rapport à toutes les courbes d'un faisceau de courbes commutatif 

 d'ordre n prissent par i^ points fixes. 



Proposition . — Le lieu géométrique des pôles d'une droite fixe par 

 rapport à toutes les courbes 0", d'un faisceau commutatif de courbes 

 d'ordre n est une courbe 0^'""^' d'ordre 2(n— 1) 



Cette courbe passe : 



1° Par tous les points singuliers des courbes 0" du faisceau donné» 

 dont le nombre est 3(n — 1)^ . 



2" Par toutes les 2(n — 1) coïncidences des divisions en involution 

 commutatives totales déterminées par les courbes 0" sur la droite 

 donnée . 



3° Par les (n — 1)^ points fixes par lesquels passent les polaires 

 d'ordre n — 1 d'un point quelconque de la droite donnée par rapport 

 aux courbes 0". 



On peu démontrer ces deux propositions aisément à l'aide des 

 théories précédentes. 



On remarquera cependant que la démonstration ne donnera pas le 

 nombre 3{n — 1)^ de points singuliers qu'admettent toutes les courbes 

 0" du faisceau donné. Il faut établir ce point séparément. On le fera à 

 l'aide de la théorie des polaires. 



La solution géométrique est simple, la démonstration analytique 

 est un peu délicate et longue. 



