OPTIOUE GRAPHIQUE 207 



La relation homographiqiie n'est pas en général symétrique par rap- 

 port aux variables x^ et x^, et par suite elle n'est pas réciproque. Il y 

 a exception si l'on a c= b, auquel cas elle devient 



(2) axi Xi -h b(Xi -+- X2) + (/ = 0, 

 et prend alors le nom de relation involutive . 



Quand l'un au moins des coefficients 6, c ou rf devient nul, la rela- 

 tion homographique conserve, malgré cetteparticularité, ses proprié- 

 tés générales. Il n'en est pas de même si le coefficient a est égal àzéro ; 

 en prenant la forme exclusivement linéaire 



(3) 6a?i -f- ca?2 H- rf = 0, 



elle cesse d'être, à proprement parler, la relation homographique et 

 devient la relation homothétique. 



Nous supposerons, dans ce qui va suivre, a :^ 0. On peut alors 

 diviser par a les deux membres de la relation (1) et lui donner la 

 forme 



(4) XiX.2 -H pxi -I- qx^ + r = 0, 



ne contenant plus explicitement que trois coefficients. 



— Il est naturel de chercher à interpréter géométriquement la re- 

 lation homographique. 



Les diverses valeurs de la variable Xi peuvent être regardées comme 

 représentant les abscisses d'un point variable sur une certaine droite, 

 abscisses comptées à partir d'un point fixe de celle-ci. De même, les 

 valeurs de la variable a;2 peuvent être considérées comme les abscisses 

 d'un autre point variable comptées sur une seconde droite à partir 

 d'un de ses points supposé fixe. 



Quand ces deux droites sont distinctes, on dit que les couples de 

 points définis par des valeurs correspondantes de Xi et de x^ définissent 

 deux divisions homographiques de hases différentes. En particulier, 

 lorsque les droites, qui sont ainsi appelées les bases des deux divisions 

 homographiques, sont sécantes, et que les points qui sont pris sur 

 chacune d'elles comme origines des abscisses, coïncident avec leur 

 point commun, on peut rattacher, suivant la méthode ordinaire, un 

 poi-nt du plan à chaque couple de valeurs de Xi et X2. L'équation (1), 

 ou, ce qui est la même chose, l'équation (4) définit alors une courbe, 

 qui est une hyperbole ayant ses asymptotes parallèles aux droites 

 coordonnées, bases des deux divisions. 



Au lieu d'être distinctes, ces deux droites peuvent être confondues. 

 On dit, dans ce cas, que les couples de points définis par les valeurs 

 correspondantes des variables a?i et X2, forment deux divisiotis homo- 



