OPTIQÏJÉ GRAPHIQUE 209 



2° Points remarquables d'une homographie. 



Nous supposons d'abord que la relation homographique générale (4) 

 définit deux divisions de même base rapportées à une même origine. 

 Dans ces conditions, parmi les couples de points conjugués en nombre 

 infini, il en est qui présentent des particularités susceptibles d'être 

 signalées. 



1° Points doubles. — On donne ce nom aux points qui coïncident 

 avec leurs conjugués. Pour obtenir les abscisses de ces points, il suffît 

 de faire a?2 = Xi dans la relation homographique, qui devient ainsi 



(5) ^2 4- (p -h g)a? H- r = 0. 



On voit ainsi que, dans une homographie sur même droite, il y a deux 

 points doubles, réels ou imaginaires, distincts ou confondus. 



Les deux points coïncidents et conjugués, qui par leur réunion 

 forment chaque point double, présentent, entre tous les couples de 

 points conjugués, la particularité d'être réciproques. Dans le cas de la 

 relation involutive, où les points conjugués sont tous réciproques, les 

 points doubles n'ont d'autre propriété que celle d'être confondus. 



La réalité des points doubles dépend du signe de la quantité 

 {p-\-q'^) — 4?% ce qui correspond ainsi à trois cas différents. Cette 

 distinction entraîne au point de vue géométrique le partage des divi- 

 sions homographiques sur une même droite en deux catégories. On 

 démontre en effet : 



1° que, dans toute homographie à points doubles réels, le rapport 

 anharmonique des distances de deux points conjugués quelconques 

 sur deux points doubles est constant; et réciproquement, que les di- 

 vers couples de points d'une droite, tels que le rapport anharmonique 

 de leurs distances à deux points fixes de la même droite, forment sur 

 cette droite deux divisions homographiques de même base admettant 

 comme points doubles réels les deux points fixes considérés ; 



2° que, dans toute homographie à points doubles imaginaires, les 

 droites qui joignent deux points conjugués quelconques à un certain 

 point fixe situé hors de la droite qui supporte les deux divisions 

 homographiques, forment un angle constant; et réciproquement, que 

 lorsqu'on fait tourner un angle autour de son sommet, les points où 

 les côtés de cet angle rencontrent une droite lixe ne passant pas par son 

 sommet, forment sur celte droite deux divisions homographiques de 

 même base à points doubles imaginaires. 



Ces résultats s'obtiennent en cherchant la relation analytique qui 

 existe entre les abscisses rapportées à une même origine des couples 



