210 OPTIQUE GRAPHIQUE 



de points qui sont liés par l'une ou l'autre des relations géométriques 

 qui viennent d'être indiquées. 



Le cas oii ces points sont liés par la constance du rapport anharmo- 

 nique mérite d'être examiné particulièrement. Soient G et D les 

 deux points fixes, Aj et A2 deux points conjugués ; on a par hypo- 

 thèse 



En rapportant à une même origine les quatre distances précé- 

 dentes, on trouve entre les abscisses variables Xi et X2 des points Ai 

 et Ao une relation de la forme (1), c'est-à-dire une relation homogra- 

 phique dans laquelle la condition de réalité des points doubles est 

 remplie, ces points n'étant autres que les points G et D. 



La réciproque est vraie, avons-nous dit, par conséquent, homogra- 

 phie à points doubles réels et constance du rapport an harmonique 

 sont deux choses absolument équivalentes. 



Ge que nous venons de dire suppose implicitement les deux points 

 doubles distincts l'un de l'autre. Or, il peut arriver que ces points, 

 tout en restant réels sont confondus. Au point de vue de l'interpréta- 

 tion géométrique correspondante, ce cas doit être considéré comme le 

 cas limite des deux cas généraux précédents. Ainsi, 1° en supposant 

 que les deux points doubles, considérés comme réels et distincts, se 

 rapprochent de plus en plus l'un de l'autre jusqu'à se confondre, on 

 voit que le rapport anharmonique, nécessairement différent de 

 l'unité, tant que les points doubles sont distincts, tend vers l'unité 

 lorsqu'ils se rapprochent et devient égal à l'unité lorsqu'ils sont 

 confondus ; 2° en supposant les points doubles imaginaires, mais en 

 supposant en même temps que dans l'expression algébrique qui les 

 définit, la partie réelle reste constante, tandis que la partie imaginaire 

 tend vers zéro et devient finalement nulle, on voit que le sommet de 

 l'angle se rapproche de la base de l'homographie, en même temps 

 que la valeur de l'angle diminue et tend vers zéro. A la limite, quand 

 la partie imaginaire est devenue égale à zéro, les deux points doubles 

 se confondent en un seul point double réel et alors le sommet de 

 l'angle se trouve sur la base et sa valeur est devenue égale à zéro. 



Ge cas limite présente donc la particularité de rentrer dans les deux 

 cas généraux au point de vue de l'interprétation géométrique qui sub- 

 siste, en sorte que celle-ci est absolument générale. Néanmoins cette 

 interprétation géométrique limite ne peut pas être regardée comme 

 pouvant définir l'homographie, c'est-à-dire comme permettant de 

 construire le conjugué d'un point, ainsi qu'on le constate aisément. 



