OPTIQUE GRAPHIQUE 211 



La définition de l'homographie dans ce cas particulier est alors, à 

 proprement parler, algébrique ; néanmoins, à ce cas particulier se 

 rattache, comme nous le verrons plus loin, une interprétation géomé- 

 trique spéciale. 



Avant de quitter la question des points doubles, nous ferons remar- 

 quer que le rapport anharmonique dont l'existence et la constance 

 entraînent l'existence d'une homographie à points doubles réels, peut 

 être égale à — 1. Pour cette valeur, le rapport est dit harmonique, 

 et Ton constate que la forme homographique correspondante est celle 

 que nous avons appelée plus haut la forme involutive, représentée par 

 l'équation (2) symétrique en Xi et X2. Cette forme se distingue, 

 comme nous Tavons dit, de la forme générale, par la réciprocité des 

 points conjugués. 



Le cas particulier où les points doubles coïncident et le cas de la 

 relation involutive présentent donc cette circonstance intéressante que, 

 pour l'un comme pour l'autre, la valeur absolue du rapport anhar- 

 monique est égale à l'unité. Nous verrons plus loin que cette analogie, 

 qui établit un lien entre ces deux cas, entraîne une autre analogie qui 

 rattache plus profondément encore ces deux cas l'un à l'autre. 



2° Centre de l'homographie. — On donne ce nom au point milieu de 

 la distance des points doubles. Ce point, dont l'abscisse a pour valeur 



— ^ > existe toujours, même quand les points doubles sont ima- 



ginaires. Dans ce cas, le sommet fixe autour duquel tourne l'angle 

 générateur de l'homographie se trouve sur la perpendiculaire menée 

 par le centre de l'homographie à la droite qui la supporte. 



Le centre de l'homographie peut être considéré comme un point 

 appartenant à l'un ou à l'autre des deux systèmes, et l'on peut alors, 

 dans chacune de ces deux hypothèses, chercher son conjugué. On 

 constate aisément que ces deux conjugués sont de part et d'autre du 

 centre de l'homographie et à égales distances de celui-ci. 



Lorsque les deux points doubles coïncident, le centre de l'homo- 

 graphie coïncide avec le point double unique, et ses deux conjugués 

 coïncident avec lui. 



3° Points conjugués de l'infini. — Lorsqu'un point de l'un ou l'autre 

 système s'éloigne indéfiniment sur la droite, son conjugué tend vers 

 une position limite, qu'on appelle le conjugué du point de ce système 

 situé à l'infini, ou simplement le conjugué de l'infini. D'après cela, il 

 existe dans une homographie deux points conjugués de l'infini ; nous 

 désignerons par I2 le point du second système conjugué du point situé 



