OPTIQUE GRAPHIQUE 213 



La relation homographique perd alors un terme et prend la forme 

 plus simple 



(10) a?iJ7o -\- pxi -+- r = 0. 



De même, en prenant le point U pour origine, on aurait la forme 

 réduite 



(11) X1X2 + qx2 •+-r=0. 



3° On peut prendre l'un des points doubles pour origine. Gomme, 

 dans cette hypothèse, l'une des racines de l'équation (5) des points 

 doubles doit être nulle, il faut qu'on ait r = 0. Dans ce cas encore, 

 la relation homographique perd un terme et prend la forme simple 



(12) a?ia?2 + pxi -h qx2 = 0. 



— Les résultats qui viennent d'être trouvés fournissent l'interpré- 

 tation géométrique de la perte d'un quelconque des trois derniers 

 termes dans la relation homographique, le premier terme ne pouvant, 

 ainsi que nous l'avons dit, jamais faire défaut. 



On peut alors se demander quelle serait la signification de la 

 relation homographique si elle cessait de contenir deux des trois der- 

 niers termes. 



Supposons, par exemple, que l'on ait à la fois p = 0, g = 0, il 

 reste l'équation 



(13) XiX2-\- r = 0. 



L'homographie est, comme dans le premier cas particulier examiné, 

 rapportée à son centre ; mais comme l'équation (13) est symétrique 

 par rapport aux variables Xi et x,, elle définit une relation involutive 

 L'équation réduite (13) représente donc une involution rapportée à son 

 centre. 



Si maintenant on avait à la fois —q = 0, r = 0, il resterait l'équa- 

 tion 



(14) XiX^ H- pa?.2 = 0. 



En se rapportant aux explications données plus haut, cette équation 

 devrait représenter une homographie rapportée à la fois à un de ses 

 points doubles et à un des points conjugués de l'infini pour origine. 

 Ces deux circonstances semblent devoir s'exclure mutuellement, car 

 un point conjugué de l'infini ne peut pas être un point double. 

 Pour expliquer ce qui se passe, nous remarquerons que l'équation (14) 

 peut s'écrire 



(14) Xt(xo -4- p) = 0, 



si cette dernière est satisfaite, quel que soit Xi par Xo = — p, et 



