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aussi, quel que soit x. par x^— 0. La valeur d'aucune des deux 

 variables a?i et x^ ne s'exprime donc en fonction de l'autre, et par suite 

 l'équation (14) ne définit pas une relation fonctionnelle au sens 

 propre du mot. On peut dire néanmoins, en raison des formes parti- 

 culières de solutions trouvées plus haut que la relation (14) définit une 

 homographie singulière dans laquelle : 1° tous les points du premier 

 système admettent pour conjugué commun le point ayant pour 

 abscisse X2 = — p ; 2° tous les points du second système admettent 

 l'origine pour conjugué commun. 



On voit ainsi pourquoi et comment l'origine est à la fois point 

 double et point conjugué de l'infini. La forme (14) ne se rencontrera 

 donc que dans des cas exceptionnels, et par suite, sauf le cas de l'in- 

 volution, les seules formes réduites usuelles sont les formes (10) ou (11) 

 et (12), cette dernière présentant sur les deux autres l'avantage de la 

 symétrie par rapport aux variables Xi et a?2. 



— C'est pourquoi la forme (12) peut être employée de préférence à 

 toutes les autres. En divisant tous les termes par XiX^ et en transpo- 

 sant, on peut l'écrire encore 



d'où en tenant compte des valeurs de ji et de i^qui définissent les con- 

 jugués de l'infini 



{^^) Xi X2 ' 



Telle est la forme simple et commode sous laquelle nous présente- 

 rons le plus souvent la relation homographique; nous l'appellerons 

 la forme canonique. 



4° Nous avons jusqu'à présent explicitement rapporté à une même 

 origine les points des deux divisions. Nous pouvons au contraire, sui- 

 vant une remarque faite plus haut, choisir deux origines différentes, 

 une pour chaque division. Seulement, pour pouvoir retirer un avan- 

 tage de cette manière de procéder, il faut que les deux nouvelles ori- 

 gines, au lieu d'être quelconques, satisfassent à certaines conditions. 



Pour trouver la forme nouvelle de la relation homographique, nous 

 supposerons d'abord celle-ci rapportée à une origine commune 0, qui 

 peut être quelconque, ce qui donne la forme générale (4). Nous pose- 

 rons en même temps pour abréger 



F(a?i, X2) ^ Xix^ +pxi -f- qx% -I- r. 



Gela étant, nous allons supposer qu'on rapporte les points de la 

 première division, c'est-à-dire du premier système, à une nouvelle 



