216 . OPTIQUE GRAPHIQUE 



d'où l'on tire 



a, — —q. 



Les deux nouvelles origines sont les points conjugués de l'infini, en 

 sorte que les points de chaque système sont rapportés au point con- 

 jugué de l'infini situé dans le même système. 



La relation homographique se réduit à la forme simple 



(17) a-ixa -h F(aia2) = 0. 



Nous retombons ainsi sur la forme réduite (lo) que nous avons vu 

 définir, mais dans le cas d'une seule origine, la relation involutive. 

 Cette équation exprime que dans toute homographie, le produit des 

 distances de deux points conjugués aux points conjugués de Vinfini 

 correspondants est constant. 



Cet énoncé constitue une propriété générale des systèmes homogra- 

 phiques et peut servir de définition à l'homographie. 11 est à remar- 

 quer d'ailleurs que cette définition identifie complètement la relation 

 homographique générale avec la relation involutive, En effet, en défi- 

 nissant les couples de points conjugués parla condition que le produit 

 de leurs distances respectives à deux points fixes soit constant, on voit 

 que si ces deux points fixes coïncident, l'homographie devient une 

 involution. On sait d'ailleurs que, dans une involution, les deux points 

 conjugués de l'infini coïncident entre eux et avec le centre de ['invo- 

 lution. 



Pour avoir, dans l'hypothèse adoptée, la forme explicite de la rela- 

 tion homographique, il n'y a plus qu'à calculer la quantité F(aia2). 

 Ce résultat est intéressant surtout lorsque la relation primitive, au lieu 

 d'être mise sous la forme la plus générale (4), est mise sous la forme 

 (12) qui suppose que l'origine primitive unique est un des points 

 doubles de l'homographie. On a en effet dans ce cas 



F(ai,a2) = F(— (/, — p) = —pq. 



En se reportant aux valeurs de ji et de i^ précédemment calculées, 

 on voit que la relation homographique prend la forme 



(18) x'ix'<i = jii2. 



C'est la forme que nous appellerons la forme de Newton. Elle 

 exprime que le produit des distances respectives de deux points con- 

 jugués quelconques aux points conjugués de l'infini correspondants 

 est égal au produit des distances d'un point double à ces deux points, 

 ce qui est certain a priori, puisque d'une part le produit est constant 

 d'après l'équation fondamentale (17), et que d'autre part un point 

 double est la réunion de deux points conjugués. 



