OPTIQUE GRAPHIQUE 217 



L'équation (18), bien qu'étant établie dans i'iiypothèse explicite où 

 les points doubles sont réels, est cependant générale, et l'on vérifie 

 aisément par un calcul direct que, dans l'équation générale (17) oii aj 

 et a, représentent les abscisses des points conjugués de l'infini, l'ex- 

 pression — F(a,, a,) représente le produit des distances respectives 

 des points conjugués de l'infini à un même point double, réel ou 

 imaginaire. 



6° On peut, dans l'équation transformée (16), déterminer les abs- 

 cisses aj, a, des nouvelles origines par la condition 



(19) F(a„ a,) = 0. 



Il y a une infinité de manières de satisfaire à cette condition unique. 

 L'une des origines peut être choisie arbitrairement; l'autre est alors 

 déterminée par la relation (19) exprimant qu'elle est le point conjugué 

 de la première dans l'homographie considérée. En d'autres termes, la 

 relation (19) établie entre les deux origines nouvelles exprime qu'elles 

 sont deux points conjugués l'un de l'autre dans l'homographie en 

 question ; et, comme il y a une infinité de systèmes de points conju- 

 gués, il y a une infinité de manières de faire cette réduction. 

 Dans cette hypothèse, la relation transformée (16) devient 



(20) x[x'^ -h x[F'oLi -{- x'^Fa^ = 0. 

 ou, en remplaçant les dérivées par leurs valeurs 



(20') x^xi^ H- (aaH- p)x[ -h (ai -+-q)x^ = 0. 



On retrouve ainsi la forme (12) qui correspond au cas d'une origine 

 unique, cette origine étant un point double. 



Ce résultat est intéressant et entraine, comme on le verra, d'impor- 

 tantes conséquences. Envisagé au point de vue purement algébrique, 

 il prouve que la forme réduite (12) 



(12) X1X2 -\-pxi + qXi— ù 



est la forme qui correspond au cas général de deux origines distinctes, 

 mais conjuguées l'une de l'autre dans l'homographie considérée. Il 

 explique en même temps pourquoi on retrouve cette forme dans le cas 

 d'une origine unique, cette origine étant un point double. 



Il montre en outre que les points doubles sont loin d'avoir l'impor- 

 tance qu'on pouvait leur attribuer de prime abord, et que la distinc- 

 tion qui pouvait en résulter entre les homographies à points doubles 

 réels et à points doubles imaginaires manque en réalité de fondement, 

 puisqu'une forme qui semblait particulière devient au contraire 

 générale. 



L'homographie étant ainsi rapportée à deux origines conjuguées est 



