224 OPTIQUE GRAPHLQUE 



plus à partir d'une seule et même origine. Les résultats ainsi obtenus 

 géométriquement confirment ce que nous avons dit plus haut sur le 

 peu d'importance de la distinction qui peut être établie entre les 

 homographies à points doubles réels et celles à points doubles imagi- 

 naires. Analytiquement et géométriquement, un couple de points con- 

 jugués possède exactement les mêmes propriétés qu'un point double, 

 dans lequel la coïncidence des deux points conjugués peut être regar- 

 dée comme une coïncidence accidentelle, fortuite, n'entraînant avec 

 elle aucune conséquence importante. La véritable caractéristique 

 d'une homographie consiste dans la position mutuelle des points de 

 l'une des divisions comparée à celle des points correspondants de 

 l'autre . 



Il est même, à ce point de vue, intéressant de remarquer que la 

 nature d'une homographie dépend à proprement parler d'un seul 

 paramètre. L'équation canonique (22) qui la représente semble, il est 

 vrai^ contenir deux paramètres jl et il, qui sont les distances aux deux 

 origines conjuguées choisies des deux points conjugués de l'infini, 

 l'un des trois paramètres contenus dans l'équation générale ayant 

 déjà disparu par le fait du choix des origines dont la distance suppo- 

 sée connue peut d'ailleurs varier, puisque son changement revient 

 à donner un mouvement de glissement d'ensemble au système de 

 points qui forme l'une des deux divisions. Or, de ceux des paramètres 

 restants, l'un d'eux j[ peut être supposé avoir, dans tous les cas, une 

 valeur constante ; en effet, le couple des deux origines conjuguées Ai 

 et A2 étant arbitraire, on peut toujours, quelle que soit l'homographie 

 considérée, choisir pour point Ai celui des points de la première divi- 

 sion qui se trouve à une distance du point conjugué de l'infini Ji cor- 

 respondant à une distance constante, arbitraire d'ailleurs, et égale à 

 j'i. Les diverses homographies se distingueront alors les unes des 

 autres uniquement par la distance i'2 du second point conjugué de 

 l'infini I2 au point A2 conjugué du point Aj. La relation homogra- 

 phique rentre alors dans la catégorie des relations simples à un seul 

 paramètre, et cela lui enlève beaucoup dé sa complication apparente. 

 On peut, par exemple, supposer j[ = — 1. Les homographies se 

 partageront alors en deux groupes: celles pour lesquelles le para- 

 mètre 12 est positif, et celles pour lesquels il est négatif. Le calcul et 

 le graphique montrent alors que pour les premières, la valeur de 

 :c2 est positive pour toutes les valeurs de x[^ excepté pour celles qui 

 sont comprises entre — 1 et ; tandis que, pour les secondes, la 

 valeur de xi est négative pour toutes les valeurs de x[, sauf encore 

 pour celles qui sont comprises entre — 1 et 0. En raison des appli- 



