OPTIQUE GRAPHIQUE 229 



choisi arbitrairement, la relation (23) définit son conjugué Ao dans la 

 première homographie ; ce point Ao étant considéré ensuite comme 

 appartenant à la seconde homographie, la relation (24) définit son 

 conjugué A3. Il suit de là que les deux points Ai et A3, appartenant 

 respectivement à deux homographies différentes, admettent le même 

 conjugué Ao. Ces deux points Ai et A3 sont donc liés entre eux, et 

 par suite il existe entre leurs abscisses variables Xi et X3 une relation 

 qu'on obtient en éliminant x^ entre les équations (23) et (24) ce qui 

 donne 



(27) (q' — p)xiX3 4- (r' — pp')Xi + {qq' — r)x3 + (qr' — rp'j = 0. 



On obtient ainsi, pour définir x^ en fonction de Xi, une nouvelle re- 

 lation homographique, ce qui conduit au théorème connu : 



Deux divisions, homographiques à une troisième, sont homographiques 

 entre elles. 



Il y a exception toutefois si l'on a p = qi, car, dans ce cas, l'ho- 

 mographie résultante se réduit à une homothétle. 



Quoi qu'il en soit, le point Ai étant donné, il est possible d'obtenir 

 directement le point A3, sans passer par l'intermédiaire du point As. 

 La chose est d'ailleurs possible aussi bien géométriquement qu'algé- 

 briquement. Il est en outre possible d'appliquer à l'homographie ré- 

 sultante tout ce qui a été dit sur les homographies en général. C'est 

 ainsi qu'on peut la ramener à la forme canonique en rapportant les 

 distances des divisions 1 et 3 à deux points conjugués quelconques 

 préalablement déterminés. 



En d'autres termes, on peut passer de la division 1 à la division 3 

 de deux façons : ou bien directement, ou bien par l'intermédiaire de 

 la division 2, Ce sont les circonstances qui, dans chaque cas, indique- 

 ront la marche à suivre la plus avantageuse ; en effet, si le procédé par 

 élimination est plus rapide, il est en revanche et assez souvent utile 

 d'être renseigné sur la valeur et la position des quantités intermé- 

 diaires. 



8° Système de plusieurs homographies de même base 

 ayant deux à deux une division commune. 



11 est facile de passer du cas de deux homographies à un nombre 

 quelconque d'homographies de même base liées entre elles de telle 

 façon que la seconde division de chacune soit la première division de 

 la suivante. En procédant de proche en proche, c'est-à-dire en rem- 

 plaçant deux homographies consécutives par une homographie unique. 



