30 JOSEPH DESCHAMPS 



point N' diffère d'une unité de celle du point N ; il nous suffirait 

 donc de connaître la différence d'ordonnée de ces deux points, 

 diff'érence correspondant à la différence entre les nombres des cen- 

 taines des deux nombres correspondants. 



Nous n'avons pour cela qu'à nous reporter à la solution du pro- 

 blème déjà rappelé. 11 a été trouvé que cette variation est égale au 

 nombre ddl' augmenté du nombre des dizaines du produit ud" . Plu- 

 sieurs cas sont alors à distinguer suivant le nombre u des unités du 

 diviseur a. 



1" cas : u = \. — On a alors d' = 1, d'où ud" = 1, et dd" — d. 

 Par conséquent la variation cherchée est égale au nombre de dizaines 

 du diviseur a. 



Considérons par exemple le diviseur a = 31. D'après ce qui vient 

 d'être trouvé, les ordonnées des points consécutifs correspondant 

 aux multiples de 31, considérés, points qui se trouvent sur une 

 même droite, ces ordonnées, disons-nous, diffèrent de 3 unités. Pour 

 71, elles différeraient de 7, et ainsi de suite. 



1" cas : M = 3. — On a alors d" =■ 7, et par suite dd" = Id^ 

 ud" = 3 X 7 = 21 . La variation cherchée s'obtient en augmentant 

 de 2 unités le produit 7 d. 



Ainsi pour a = 47, celte variation serait 4 X 7 h- 2 = 30. 



Gomme on le voit, cette variation augmente rapidement avec le 

 nombre des dizaines d du diviseur a. Or, il est possible, dans ce 

 cas, d'obtenir un résultat plus simple. 



Considérons en effet un premier multiple N de a dont le point 

 représentatif se trouve sur une certaine verticale déGnie par le nom- 

 bre de dizaines de N. Dans le voisinage de ce point, se trouvent sur 

 la verticale de rang immédiatemeiit supérieur deux points, l'un au- 

 dessous, l'autre au-dessus du premier point. Le premier, c'est-à-dire 

 celui qui est représentatif du multiple de l'ordre le plus élevé corres- 

 pond à une variation positive de centaines de N, qui vient d'être 

 calculée ; le second est au contraire représentatif d'un multiple d'ordre 

 moins élevé que n'est N, et correspond par suite à une variation 

 négative de centaines de N. Pour trouver la valeur de cette variation 

 négative, nous rappellerons que, d'après ce qui a été dit, l'ordonnée 

 de ce point le plus élevé diffère de a unités de l'ordonnée du point 

 le plus bas. La variation négative cherchée a donc pour valeur 

 7rf^2 — a = 7c?-4-2— (10(/ + 3) 

 = — (dd-hi). 



