NOTES DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 31 



4" Angles du triangle MjMaMg. — Proposons-nous d'abord d'éva- 

 luer l'angle M, de ce triangle. Nous transporterons pour cela l'ori- 

 gine au point U^ ; il nous suffira alors d'appliquer la première des 

 formules (45) et aussi des formules (46), à la condition d'y remplacer 

 {^•ïyi-i), K2/3^3) respectivement par (.-^2— a;,, 3/2 — i/^, z^-~ z^)^, 

 {x^. — x^, 3/3 — y^, z-i — z^). Pour trouver la forme particulière que 

 prennent les formules ainsi modifiées, nous devrons remplacer les 

 seconds membres par leurs expressions sous forme de déterminants, 

 telles qu'elles résultent de nos identités fondamentales, et faire dans 

 ces déterminants les substitutions indiquées. 11 vient ainsi : 



cosM, = 



sin^ X 



N 

 M 



N 



sin^ [A 



A 



x-x — Xi y^ 



]U 2s — 



X.2 — x^ 

 y2 — Vi 



Z2 — 2, 

 



sin^X N M X2 — Xi 



N sin2.j. A 2/2 — ^/^ 



M A sin"^v Z.2 — z, 



«2 — «t 2/2 — 2/1 22 — s, "0 



X 



sin^X 



N 



N sin^ jj. 



M A sin^v 



•^'3 - ^'i ;!/3 — Vi 23 — 2, 



M) x-j — Xi 



3 2| 







Or les déterminants symétriques à une seule rangée de variables 

 qui figurent dans ces formules sont susceptibles d'être transformés 

 en d'autres déterminants d'ordre plus élevé, mais homogènes par 

 rapport aux coordonnées, en vertu d'une remarque faite dans la 

 démonstration de nos identités fondamentales. Cette même remarque 

 s'applique au déterminant non symétrique qui figure dans le numé- 

 rateur de la valeur de cos M, et aussi au déterminant à deux rangées 

 de variables qui figure au numérateur de sin M^. Gela nous permet 

 d'écrire les formules précédentes sous la forme : 



