44 JOSEPH DESCHAMPS 



pas plus qu'aucun de ses déterminants mineurs ou éléments. Dans 

 ces formules, le noyau central primitif T,., qui est un déterminant du 

 troisième ordre, se trouve remplacé par un autre noyau obtenu en 

 encadrant l'ancien de zéros, ainsi qu'il suit : 



sin^X N MO 

 N sinV A 

 M A .sin2 V 

 



Ce nouveau noyau, qui joue le rôle d'un discriminant du quatrième 

 ordre, peut être encadré de quatre lignes et de quatre colonnes de 

 coordonnées, au lieu de trois commele précédent. Cette circonstance 

 analytique est l'indication que, abstraction faite du cas où l'on con- 

 sidère des directions envisagées comme simples directions, les 

 coordonnées cartésiennes ne constituent pas le système naturel et 

 logique de coordonnées. L'encadrement obligé par des zéros du 

 noyau primitif est comme une invitation à employer et même à ima- 

 giner, s'il n'était pas déjà inventé, le système des coordonnées tétraé- 

 driques qui introduira une forme quadratique fondamentale à quatre 

 variables et avec elle un discriminant-noyau du quatrième ordre sus- 

 ceptible d'être encadré de quatre lignes et de quatre colonnes de 

 coordonnées et vraiment capable d'exprimer toutes les propriétés du 

 tétraèdre. 



Les études que nous venons de faire dans le plan et dans l'espace 

 exigent donc des études complémentaires qui feront l'objet de mé- 

 moires ultérieurs. 



Dans tout ce qui précède, nous nous sommes intentionnellement 

 abstenus de donner aucun développement aux formules obtenues. Ces 

 développements ne sont utiles que dans le cas particulier des coor- 

 données rectangulaires pour obtenir les formes plus simples corres- 

 pondantes. Dans tout autre cas, et même dans ce dernier cas, les 

 formules synthétiques trouvées sont, au contraire, d'interprétation 

 commode et, par le fait même de leur condensation, se prêtent, ainsi 

 qu'on a pu s'en convaincre, parfaitement au calcul. 



