THEOREMES ET LOIS POUR LÀ DECOMPOSITION EN DEUX FACTEURS 47 



exposants ou la plupart sont littéraux. J'appellerai Lois ces identités 

 littérales ('). 



J'ai obtenu beaucoup de lois très générales. Telle est la sui- 

 vante : 



■f r 



(2m 4-lm-frm4-l m m -\- i — r^i o) 

 -r r 

 = (m + 1 — "r^i 0) [m ^ r m ^) (m = kr), ■ 



où le signe : r indique que les termes sur lesquels il se trouve 

 croissent en progression arithmétique de raison r, où m, doit être 

 un multiple de r. Le premier membre est une forme de la classe I si 

 r > 1. 



10. Une Loi étant donnée, on peut, pour chaque valeur de l'expo- 

 sant m, prendre pour valeur de la variable a? un nombre quelconque: 

 on obtient ainsi autant de nombres que l'on veut et leur décomposi- 

 tion en deux facteurs. Les Lois peuvent donc être avantageusement 

 utilisées quand on cherche à décomposer en facteurs premiers une 

 suite de grands nombres. 



11. Si l'on avait beaucoup de Lois, convenablement classées, on 

 pourrait, dans un grand nombre de cas, résoudre rapidement le pro- 

 blème consistant à décomposer en deux facteurs un nombre donné : 

 il suffirait d'arriver à écrire ce nombre sous une forme <ï> qui appar- 

 tînt au premier membre d'une Loi ou du théorème dont celle-ci dé- 

 pend. Lorsqu'un nombre peut être décomposé en un produit de deux 

 facteurs, trouver une forme qui le représente et qui soit décompo- 

 sable en un produit de deux formes donnant ces facteurs est un pro- 

 blème que l'on ne peut résoudre ni méthodiquement, ni rapidement. 

 En effet, comme il y a une infinité de formes $ pouvant représenter 

 un nombre donné; c'est après plusieurs essais et souvent par hasard 

 que l'on arrive à trouver une forme <t> décomposable en deux fac- 

 teurs. Par exemple, pour le nombre 1961, exprimé dans le système 

 de numération de base 10, on n'a pas immédiatement l'idée d'écrire 



196d = 2000 — 30 — 9 

 = 20.102 _ 310 _ 9, 



(1) Le Journal Sphinx-OEdipe (1908, Nancy, p. 81-83, 97-101) contient les Lois 

 dont j'ai parlé au Congrès tenu du 3 au 10 août 1908 à Clermont-Ferrand par l'As- 

 sociation française pour rAvancement des Sciences. 



