THÉOKÈMES ET LO[S POUR LA DECOMPOSITION EN DEUX FACTEURS 33 



18. Pour la décomposition des formes des classes supérieures à la 

 classe I, je donne à présent deux lois dont l'application se présente 

 souvent. 



I. En multipliant l'une par l'autre les deux formes (a^^w) et 

 a'_a)'), on trouve cette suite des formes simples : 



((a + a') + (co + <o')) , ,. 



+ ((a + a - l)_(-o + ..' + 1)) 

 + ((a + a'-2)_(co + oy + 2)) 

 + 



+ ((* + ^j')-^(w + a')), 



le nombre des lignes étant égal au nombre des termes de la forme 

 qui en contient le moins. Ces termes formant un trapèze, je conviens 

 de les représenter symboliquement et d'écrire ainsi la loi : 



tra f ^^ ^ *')--(" + "'"' 

 V(a + w')_(w + a'; 



Le trapèze devient un triangle quand a -[- w' = (o -]- a', c'est-à-dire 

 quand les formes (a^^w) et (a'^w') ont le même nombre de termes. 



II. Si l'on fait a == a' et w = w', on a le carré de la forme (a_co) ; 

 l'ensemble des termes forme un triangle; la loi peut s'écrire ainsi : 



^ . /2a_2co\ 



19. Application. — Soit, dans le système de numération de 

 base 10, le nombre 



123 454 321. 



Après avoir décomposé ce nombre en une somme de puissances 

 de 10, on reconnaît qu'il peut être écrit sous la forme suivante : 



tn{^ 4 



cette forme est le carré de la forme 43210; donc le nombre donné 

 est le carré de 11111. 



