16 JOSEPH DESCHAMPS 



La fonction R est liée à la distance OM = p du point M à l'origine 

 par la relation : 



Quant à la fonction T, elle a une valeur constante, ainsi que l'ex- 

 prime la relation : 



(H) 



r = T 



établie plus haut. 



Si maintenant nous considérons des systèmes formés par plu- 

 sieurs directions ou par plusieurs points, tous les éléments géomé- 

 triques se rattachant à ces systèmes pourront s'exprimer, comme 

 nous allons le montrer, à l'aide de ces deux fonctions R et F. 



Considérons en effet trois directions différentes (cos a^ cos fi^ cos y^), 

 (cos a» cos ^2 cos Y2), (cos ttg cos Pg cos Y3), auxquelles correspondent, 

 avec nos notations, les trois fonctions F^ 

 trois conditions : 



, , Fjo, F33, satisfaisant aux 



(17) 



Tu = T 



F22=T 



Formons le déterminant fonctionnel 



(III) 



Tii ^i2 Tis 

 1^21 Taa 123 



^31 r32 1^33 



toutes les propriétés du système de deux ou trois directions seront 

 exprimables par ce déterminant ou par les mineurs de divers ordres 

 et de diverses natures de ce déterminant. 



Considérons de même trois points différents (a7,î/^^^^), (a:;2y2^2)» 

 i^sPs^s)^ auxquels correspondent les trois fonctions R,^, R. 

 Le déterminant fonctionnel : 



'221 R33- 



(IV) 



Ri, R|2 R|3 



1^24 R22 1^23 

 R32 1^33 1^33 



ainsi que ses mineurs de divers ordres et de diverses natures, expri- 

 meront toutes les propriétés géométriques de ces systèmes. 

 C'est ce que nous allons établir rapidement. 



