10 JOSEPH DESCHAMPS 



Projetons pour cela le contour des coordonnées du point successi- 

 vement sur OX, OY, OZ et OM, nous aurons, en désignant par a, 

 p, Y les angles respectifs de la droite OM avec les axes, les relations 

 suivantes : 



l ^ ~\' y COS V -J- s COS [X, — p cos a = 



, . \ X cos V + y + = cos X — p cos p = 



^ ' \ X cos [J- -l- 2/ cos X -|-' z — p cos y = 



l X cos CL -\- y cos p + - cos Y — p := 0. 



Multiplions lestrois premières respectivement par^r, y, z, et ajou- 

 tons-les en tenant compte de la quatrième ; nous trouvons ainsi : 



a;2 _j_ y2 _|_ 22 _|_ 2yz cos X 



',x cos [JL -[- 2a??/ cos V, 



formule qui résout la question proposée. 



La distance cherchée p est donc intimement liée à la forme qua- 

 dratique à trois variables 



x^ + 2/^ + z- + 2yz cos X -j- 22a; cos ;j. + 2xy cos v, 



que nous désignerons par R (a-, y, ;:) ou simplement par R, et qu'il 

 est naturel d'appeler la forme sphérique, puisque l'équation (2) est 

 au fond de l'équation de la sphère de centre et de rayon p. 



Or à la fonction R se rattache immédiatement et nécessairement 

 son discriminant : 



T = 



1 cos V cos ;J. 



cos V 1 cos A 



cos p. cos X 1 



dont la valeur développée est: 



T = d + 2 cos X cos UL cos 



cos^ X — cos- [j. — cos- V, 



Ce déterminant dont les éléments sont exclusivement formés par 

 les cosinus des angles des axes deux à deux, a été appelé h sinus 

 du trièdre des axes. La raison de cette dénomination est que le dé- 

 terminant T, toujours différent de zéro, est constamment positif et 

 non supérieur à 1, ainsi que cela a été démontré depuis longtemps. 



